早稲田大学 基幹理工学研究科 機械科学・航空宇宙専攻 2024年度 物理 [2]
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Kai
時刻を \(t\) で表し、微分 \(d/dt\) をドット \(\dot{}\) で表す。
問 1
(1)
\[
\begin{align}
x = x
, \ \
y = \alpha \sin \theta
, \ \
z = - \alpha \cos \theta
\end{align}
\]
(2)
\[
\begin{align}
\dot{y} = \alpha \dot{\theta} \cos \theta
, \ \
\dot{z} = \alpha \dot{\theta} \sin \theta
\end{align}
\]
なので、求めるラグランジアンは
\[
\begin{align}
L \left( x, \theta, \dot{x}, \dot{\theta} \right)
&= \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2\ + \dot{y}^2 + \dot{z}^2 \right) - mgz
\\
&= \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2\ + \alpha^2 \dot{\theta}^2 \right)
+ mg \alpha \cos \theta
\end{align}
\]
である。
(3)
\[
\begin{align}
\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}
&= \frac{d}{dt} m \dot{x}
= m \ddot{x}
,\\
\frac{\partial L}{\partial x}
&= 0
,\\
\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}
&= \frac{d}{dt} m \alpha^2 \dot{\theta}
= m \alpha^2 \ddot{\theta}
,\\
\frac{\partial L}{\partial \theta}
&= - mg \alpha \sin \theta
\end{align}
\]
なので、ラグランジュ方程式は
\[
\begin{align}
\ddot{x} = 0
, \ \
\alpha \ddot{\theta} = - g \sin \theta
\end{align}
\]
となる。