早稲田大学 基幹理工学研究科 機械科学・航空宇宙専攻 2024年度 数学 [1]
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Kai
(1)
(i)
\[
\begin{aligned}
e^{PAP^{-1}}
&= \sum_{k=0}^\infty \frac{\left( PAP^{-1} \right)^k}{k!}
\\
&= P \sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!} P^{-1}
\\
&= P e^A P^{-1}
\end{aligned}
\]
(ii)
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{dt} e^{tA}
&= \frac{d}{dt} \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k A^k}{k!}
\\
&= \sum_{k=1}^\infty \frac{t^{k-1} A^k}{(k-1)!}
\\
&= A \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k A^k}{k!}
\\
&= A e^{tA}
\end{aligned}
\]
であり、 \(t=0\) のとき \(e^{tA}\) は単位行列であるから、 求める解は
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{x}(t) = e^{tA} \boldsymbol{x}_0
\end{aligned}
\]
であることがわかる。
(iii)
\[
\begin{aligned}
A
&= P
\begin{bmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{bmatrix}
P^{-1}
\end{aligned}
\]
なので、
\[
\begin{aligned}
e^{tA}
&= \exp \left( tP
\begin{bmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{bmatrix}
P^{-1} \right)
\\
&= P \exp \left( t
\begin{bmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{bmatrix}
\right) P^{-1}
\ \ \ \ \ \ \ \ ( \because \text{ (i) } )
\\
&= P \begin{bmatrix}
e^{\lambda_1 t} & & \\ & \ddots & \\ & & e^{\lambda_n t}
\end{bmatrix} P^{-1}
\end{aligned}
\]
となるため、 (ii) で求めた解は
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{x} (t)
&= e^{tA} \boldsymbol{x}_0
\\
&= P \begin{bmatrix}
e^{\lambda_1 t} & & \\ & \ddots & \\ & & e^{\lambda_n t}
\end{bmatrix} P^{-1} \boldsymbol{x}_0
\end{aligned}
\]
と書ける。
(iv)
\(A\) の固有値を \(\lambda\) とすると、
\[
\begin{aligned}
0
&= \det \begin{bmatrix} 1 - \lambda & 1 \\ -2 & 4 - \lambda \end{bmatrix}
\\
&= (\lambda - 2)(\lambda - 3)
\\
\therefore \ \ \lambda &= 2, 3
\end{aligned}
\]
がわかる。
固有値 \(2\) に属する固有ベクトルを求めるため
\[
\begin{aligned}
\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 2 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと \(u=v\) を得る。
固有値 \(3\) に属する固有ベクトルを求めるため
\[
\begin{aligned}
\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと \(2u=v\) を得る。
そこで、
\[
\begin{aligned}
P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと、
\[
\begin{aligned}
P^{-1} &= \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}
, \\
A &= P \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} P^{-1}
\end{aligned}
\]
であり、
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{x}(t)
&= P \begin{bmatrix} e^{2t} & 0 \\ 0 & e^{3t} \end{bmatrix} P^{-1}
\begin{bmatrix} x_{10} \\ x_{20} \end{bmatrix}
\\
&=
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} e^{2t} & 0 \\ 0 & e^{3t} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x_{10} \\ x_{20} \end{bmatrix}
\\
&= \begin{bmatrix}
2e^{2t} - e^{3t} & -e^{2t} + e^{3t} \\
2e^{2t} - 2e^{3t} & -e^{2t} + 2e^{3t}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x_{10} \\ x_{20} \end{bmatrix}
\\
&= \begin{bmatrix}
\left( 2 x_{10} - x_{20} \right) e^{2t}
+ \left( - x_{10} + x_{20} \right) e^{3t}
\\
\left( 2 x_{10} - x_{20} \right) e^{2t}
+ \left( - 2x_{10} + 2x_{20} \right) e^{3t}
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
を得る。