早稲田大学 創造理工学研究科 経営システム工学専攻 2023年度 数理基礎
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Kai
[A]
[小問 A1]
\(x \gt 0\) のとき \(f(x) \gt 0\) であり、次のように計算できる：
\[
\begin{aligned}
f(x) &= \left( \frac{1}{2x} \right)^x
\\
\log f(x) &= - x \log 2x
\\
\frac{f'(x)}{f(x)} &= - \log 2x - 1
\\
\therefore \ \
f'(x) &= - f(x) \left( \log 2x + 1 \right)
\\
&= - \left( \frac{1}{2x} \right)^x \left( \log 2x + 1 \right)
\end{aligned}
\]
[小問 A2]
\[
\begin{aligned}
\int_2^3 \frac{\log x}{(x-1)^2} dx
&= \left[ - \frac{\log x}{x-1} \right]_2^3 + \int_2^3 \frac{1}{x(x-1)} dx
\\
&= - \frac{\log 3}{2} + \log 2
+ \int_2^3 \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x} \right) dx
\\
&= - \frac{\log 3}{2} + \log 2 + \left[ \log (x-1) - \log x \right]_2^3
\\
&= - \frac{3}{2} \log 3 + 3 \log 2
\end{aligned}
\]
[小問 A3]
極座標 \((r, \theta)\) を導入して、
\[
\begin{aligned}
x = r \cos \theta, \ y = r \sin \theta
\ \ \ \ (r \geq 0, 0 \leq \theta \lt 2 \pi)
\end{aligned}
\]
と書く。\(x^2 + xy + y^2 = 3\) は、
\[
\begin{aligned}
r^2 + \frac{1}{2} r^2 \sin 2 \theta &= 3
\\
\therefore \ \
r^2 &= \frac{6}{\sin 2 \theta + 2}
\end{aligned}
\]
と書けるので、求める最短距離は \(\sqrt{2}\) 、最長距離は \(\sqrt{6}\) である。