早稲田大学 先進理工学研究科 共同原子力専攻 2023年度 数学一般(その1)
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Kai
(1)
まず、 \(y=g(x)\) が \((x,y)=(1,1)\) を通ることから、 \(a_0=1\) がわかる。
次に、 \(t=x-1\) とおくと、
\[
\begin{aligned}
f(x,y)
&= (t+1)^3 + (t+1) y - y^3 - 1
\\
&= t^3 + 3t^2 + 3t + (t+1)y - y^3
\\
g(x)
&= 1 + a_1 t + a_2 t^2 + \cdots
\\
f(x,g(x))
&= (-2a_1+4)t + (-3a_1^2+a_1-2a_2+3)t^2 + \cdots
\end{aligned}
\]
である。
\(1\) に十分近い \(x\) （ \(0\) に十分近い \(t\) ）について \(f(x,g(x))=0\) であることから、
\[
\begin{aligned}
-2a_1+4 &= 0, \ -3a_1^2+a_1-2a_2+3 = 0
\\
\therefore \ \
a_1 &= 2, \ a_2 = - \frac{7}{2}
\end{aligned}
\]
がわかる。