早稲田大学 先進理工学研究科 物理学及応用物理学専攻 2023年度 量子力学および熱・統計力学 問題5
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Kai
(1)
\[
\begin{aligned}
\hat{H}_0 | L \rangle = \varepsilon_L | L \rangle
, \ \
\hat{H}_0 | R \rangle = \varepsilon_R | R \rangle
\end{aligned}
\]
なので、 \(\hat{H}_0\) の固有値は \(\varepsilon_L, \varepsilon_R\) で、 それぞれに属する固有ベクトルは、 \(| L \rangle, | R \rangle\) である。 （ \(| L \rangle, | R \rangle\) で張られる2次元ベクトル空間を考えているので、これら以外にはない。）
(2)
\[
\begin{aligned}
H &= \begin{pmatrix}
\varepsilon_L & \Delta \\ \Delta & \varepsilon_R \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
(3)
\(H\) の固有値を \(\lambda\) とすると、
\[
\begin{aligned}
0
&= \det \begin{pmatrix}
\varepsilon_L - \lambda & \Delta \\ \Delta & \varepsilon_R - \lambda
\end{pmatrix}
\\
&= \lambda^2 - (\varepsilon_L + \varepsilon_R) \lambda
+ \varepsilon_L \varepsilon_R - \Delta^2
\\
\therefore \ \
\lambda
&= \frac{ \varepsilon_L + \varepsilon_R \pm
\sqrt{ (\varepsilon_L - \varepsilon_R )^2 + 4 \Delta^2}}{2}
\end{aligned}
\]
(4)
(2), (3) の結果は、 \(\varepsilon_L = \varepsilon_R = \varepsilon\) とすると、 次のようになる：
\[
\begin{aligned}
H
&=
\begin{pmatrix}
\varepsilon & \Delta \\ \Delta & \varepsilon
\end{pmatrix}
\\
\lambda &= \varepsilon \pm \Delta
\end{aligned}
\]
\(\Delta \ne 0\) を仮定する。 \(H\) の固有値 \(\varepsilon + \Delta\) に属する固有ベクトルを求めるために
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
\varepsilon & \Delta \\ \Delta & \varepsilon
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
=
(\varepsilon + \Delta)
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと \(x=y\) がわかり、 \(H\) の固有値 \(\varepsilon - \Delta\) に属する固有ベクトルを求めるために
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
\varepsilon & \Delta \\ \Delta & \varepsilon
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
=
(\varepsilon - \Delta)
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと \(x+y=0\) がわかる。 よって、 \(\hat{H}\) の固有値 \(\varepsilon + \Delta, \varepsilon - \Delta\) に属する規格化された固有ベクトルは、それぞれ、
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{\sqrt{2}} ( | L \rangle + | R \rangle )
, \ \
\frac{1}{\sqrt{2}} ( | L \rangle - | R \rangle )
\end{aligned}
\]
と選べる。
(5)
\[
\begin{aligned}
\hat{Z} &= i | L \rangle \langle R | - i | R \rangle \langle L |
\\
\left[ \hat{Y}, \hat{Z} \right]
&= 2i \left( - | L \rangle \langle L | + | R \rangle \langle R | \right)
\\
&= 2i \hat{X}
\\
\left[ \hat{Z}, \hat{X} \right]
&= 2i \left( | L \rangle \langle R | + | R \rangle \langle L | \right)
\\
&= 2i \hat{Y}
\end{aligned}
\]
(6)
\(\hat{H} = \varepsilon \hat{1} + \Delta \hat{Y}\) であり、 \(\hat{1}\) と \(\hat{Y}\) は可換であるから、
\[
\begin{aligned}
e^{- \frac{i}{\hbar} \hat{H} t}
&= e^{- \frac{i}{\hbar} \varepsilon t}
e^{- \frac{i}{\hbar} \Delta t \hat{Y}}
\end{aligned}
\]
であり、さらに \(\hat{Y}^2 = \hat{1}\) であるから、
\[
\begin{aligned}
e^{- \frac{i}{\hbar} \Delta t \hat{Y}}
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}
\left( - \frac{i}{\hbar} \Delta t \right)^n \hat{Y}^n
\\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}
\left( \frac{\Delta t}{\hbar} \right)^{2n} \hat{1}
- i \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}
\left( \frac{\Delta t}{\hbar} \right)^{2n+1} \hat{Y}
\\
&= \cos \left( \frac{\Delta t}{\hbar} \right) \hat{1}
- i \sin \left( \frac{\Delta t}{\hbar} \right) \hat{Y}
\end{aligned}
\]
であるので、次を得る：
\[
\begin{aligned}
e^{- \frac{i}{\hbar} \hat{H} t}
&= e^{- \frac{i}{\hbar} \varepsilon t} \left(
\cos \left( \frac{\Delta t}{\hbar} \right) \hat{1}
- i \sin \left( \frac{\Delta t}{\hbar} \right) \hat{Y}
\right)
\end{aligned}
\]
(7)
\[
\begin{aligned}
| \psi (t) \rangle
&= e^{- \frac{i}{\hbar} \varepsilon t} \left(
\cos \left( \frac{\Delta t}{\hbar} \right) \hat{1}
- i \sin \left( \frac{\Delta t}{\hbar} \right) \hat{Y}
\right) | L \rangle
\\
&= e^{- \frac{i}{\hbar} \varepsilon t} \left(
\cos \left( \frac{\Delta t}{\hbar} \right) | L \rangle
- i \sin \left( \frac{\Delta t}{\hbar} \right) | R \rangle
\right)
\end{aligned}
\]
(8)
\[
\begin{aligned}
P_L(t)
&= \left| \langle L | \psi (t) \rangle \right|^2
= \cos^2 \left( \frac{\Delta t}{\hbar} \right)
\\
P_R(t)
&= \left| \langle R | \psi (t) \rangle \right|^2
= \sin^2 \left( \frac{\Delta t}{\hbar} \right)
\end{aligned}
\]