筑波大学 理工情報生命学術院 システム情報工学研究群 社会工学学位プログラム 2022年8月実施 数学 I
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Kai
[1]
[2]
(2.1)
\[
\begin{aligned}
\Gamma \left( \frac{1}{2} \right)
&= \int_0^\infty x^{-\frac{1}{2}} e^{-x} dx
\\
&= \int_0^\infty t^{-1} e^{-t^2} 2tdt
\ \ \ \ \ \ \ \ (t=\sqrt{x})
\\
&= 2 \int_0^\infty e^{-t^2} dt
\\
&= \sqrt{\pi}
\end{aligned}
\]
(2.2)
\[
\begin{aligned}
\Gamma \left( s+1 \right)
&= \int_0^\infty x^s e^{-x} dx
\\
&= - \left[ x^s e^{-x} \right]_0^\infty + s \int_0^\infty x^{s-1} e^{-x} dx
\\
&= s \Gamma (s)
\end{aligned}
\]
(2.3)
(2.1), (2.2) から
\[
\begin{aligned}
\Gamma \left( 1 + \frac{1}{2} \right)
&= \frac{1}{2} \Gamma \left( \frac{1}{2} \right)
\\
&= \frac{1}{2} \sqrt{\pi}
\\
\Gamma \left( 2 + \frac{1}{2} \right)
&= \frac{3}{2} \Gamma \left( \frac{3}{2} \right)
\\
&= \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi}
\\
\Gamma \left( 3 + \frac{1}{2} \right)
&= \frac{5}{2} \Gamma \left( \frac{5}{2} \right)
\\
&= \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi}
\end{aligned}
\]
がわかり、自然数 \(n\) について
\[
\begin{aligned}
\Gamma \left( n + \frac{1}{2} \right)
&= \frac{\prod_{k=1}^n (2k-1)}{2^n} \sqrt{\pi}
\end{aligned}
\]
が成り立つことがわかる。