筑波大学 理工情報生命学術院 システム情報工学研究群 情報理工学位プログラム 問題例
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Kai
解析学
問 1
\[
\begin{align}
\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x - \sin x}
&= \lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{1 - \cos x}
\\
&= \lim_{x \to 0} \frac{6x}{\sin x}
\\
&= \lim_{x \to 0} \frac{6}{\cos x}
\\
&= 6
\end{align}
\]
問 2
\[
\begin{align}
\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2}
&= \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{1}{1 + \tan^2 \theta}
\frac{d \theta}{\cos^2 \theta}
\ \ \ \ \ \ \ \ ( x = \tan \theta )
\\
&= \int_0^\frac{\pi}{2} d \theta
\\
&= \frac{\pi}{2}
\\
\therefore \ \
\int_0^\infty \int_0^\infty \frac{dx dy}{(1+x^2)(1+y^2)}
&= \frac{\pi^2}{4}
\end{align}
\]
線形代数
問 1
\(A\) の固有値を \(\lambda\) とすると、
\[
\begin{align}
0
&= \det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 2 & 1 - \lambda \end{pmatrix}
\\
&= (\lambda-3)(\lambda+1)
\end{align}
\]
なので、
\[
\begin{align}
\lambda_1 = 3
, \ \
\lambda_2 = -1
\end{align}
\]
である。
問 2
固有値 \(\lambda_1=3\) に属する固有ベクトルを求めるため
\[
\begin{align}
\begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{align}
\]
とおくと \(x=y\) を得る。
固有値 \(\lambda_2=-1\) に属する固有ベクトルを求めるため
\[
\begin{align}
\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{align}
\]
とおくと \(x+y=0\) を得る。
よって、
\[
\begin{align}
X = \frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
\end{align}
\]
である。