筑波大学 理工情報生命学術院 数理物質科学研究群 数学学位プログラム 2022年度 [2]
Author
Miyake
Description
Kai
(1)
\[
\begin{aligned}
D \boldsymbol{u}_1 = \boldsymbol{0}
, \ \
D \boldsymbol{u}_2 = \boldsymbol{0}
\end{aligned}
\]
より、 \(\boldsymbol{u}_1, \boldsymbol{u}_2 \in V\) がわかる。
(2)
\[
\begin{aligned}
D \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} -2a+b+c+d \\ a-d \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと \(d=a, c=a-b\) が得られるので、 \(V\) は2次元であることがわかる。
\(\boldsymbol{u}_1, \boldsymbol{u}_2\) は、互いに実数倍ではないので、
1次独立であり、 (1) を考慮して、 \(V\) の基底であることがわかる。
(3)
まず、
\[
\begin{aligned}
L_A \left( \boldsymbol{u}_1 \right)
= \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}
, \ \ \ \
L_A \left( \boldsymbol{u}_2 \right)
= \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
であり、
\(DL_A(\boldsymbol{u}_1) = \boldsymbol{0}, DL_A(\boldsymbol{u}_2) = \boldsymbol{0}\)
すなわち
\(L_A(\boldsymbol{u}_1), L_A(\boldsymbol{u}_2) \in V\)
がわかる。
次に、任意の \(\boldsymbol{v} \in V\) は、適当な実数 \(s,t\) によって
\(\boldsymbol{v} = s \boldsymbol{u}_1 + t \boldsymbol{u}_2\)
と表されるので、この \(\boldsymbol{v}\) について、
\(L_A\) の線形性より、
\[
\begin{aligned}
L_A \left( \boldsymbol{v} \right)
&= s L_A \left( \boldsymbol{u}_1 \right)
+ t L_A \left( \boldsymbol{u}_2 \right)
\\
&\in V
\end{aligned}
\]
がわかり、これは \(L_A(V) \subset V\) を意味する。
(4)
(3) の計算より、
\[
\begin{aligned}
\varphi \left( \boldsymbol{u}_1 \right)
&= 5 \boldsymbol{u}_1 + 6 \boldsymbol{u}_2
\\
\varphi \left( \boldsymbol{u}_2 \right)
&= -3 \boldsymbol{u}_1 - 4 \boldsymbol{u}_2
\end{aligned}
\]
がわかるので、
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
\varphi \left( \boldsymbol{u}_1 \right) &
\varphi \left( \boldsymbol{u}_2 \right)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} \boldsymbol{u}_1 & \boldsymbol{u}_2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 6 & -4 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
すなわち、
\[
\begin{aligned}
B = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 6 & -4 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
である。
(5)
任意の \(\boldsymbol{v} \in V\) は、適当な実数 \(s,t\) によって
\(\boldsymbol{v} = s \boldsymbol{u}_1 + t \boldsymbol{u}_2\)
と表され、この \(\boldsymbol{v}\) について、
\[
\begin{aligned}
\varphi \left( \boldsymbol{v} \right)
&= s \varphi \left( \boldsymbol{u}_1 \right)
+ t \varphi \left( \boldsymbol{u}_2 \right)
\\
&= (5s-3t) \boldsymbol{u}_1 + (6s-4t) \boldsymbol{u}_2
\end{aligned}
\]
となるので、 \(\boldsymbol{v}\) が \(\varphi\) の固有ベクトルになるのは、
\[
\begin{aligned}
5s-3t = \lambda s , \ \ 6s-4t = \lambda t
\end{aligned}
\]
をみたす実数 \(\lambda \ (\ne 0)\) が存在するときである。
この条件は、
\[
\begin{aligned}
(5s-3t)t &= (6s-4t)s
\\
\therefore \ \
(2s-t)(s-t) &= 0
\end{aligned}
\]
と表されるので、 \(2s=t\) または \(s=t\) のとき、
\(\boldsymbol{v}\) は \(\varphi\) の固有ベクトルとなる。
したがって、例えば、
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{v}_1 &= \boldsymbol{u}_1 + \boldsymbol{u}_2
\\
\boldsymbol{v}_2 &= \boldsymbol{u}_1 + 2 \boldsymbol{u}_2
\end{aligned}
\]
は \(V\) の基底であり、
この基底に関して \(\varphi\) の表現行列は対角行列となる。
すなわち、題意の条件を満たす基底は存在する。