東京大学 理学系研究科 物理学専攻 2022年度 専門科目 第1問
Author
Miyake
Description
【問 1】
量子力学において不確定性関係式は重要な役割を果たす。与えられた量子状態に対する、位置演算子 \(\hat{x}\) と運動量演算子 \(\hat{p}\) の標準偏差を
\[
\begin{aligned}
\Delta x \equiv \sqrt{\langle (\Delta \hat{x})^2 \rangle}, \quad \Delta \hat{x} \equiv \hat{x} - \langle \hat{x} \rangle \\
\Delta p \equiv \sqrt{\langle (\Delta \hat{p})^2 \rangle}, \quad \Delta \hat{p} \equiv \hat{p} - \langle \hat{p} \rangle \\
\end{aligned}
\]
と定義しよう。ここで、\(\langle \hat{O} \rangle\) は演算子 \(\hat{O}\) の量子力学的期待値である。以下の設問に答えよ。なお、必要があれば次の積分公式を使ってもよい。
\[
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}, \quad \int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-ax^2} dx = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a^3}} \quad (a > 0)
\end{aligned}
\]
また、\(\hbar\) はプランク定数を \(2\pi\) で割った量とする。
1. 波動関数
\[
\begin{aligned}
\psi(x) = \left( \frac{1}{\pi a^2} \right)^{\frac{1}{4}} \exp \left( -\frac{x^2}{2a^2} \right) \quad (a > 0)
\end{aligned}
\]
に対して \(\Delta x\)、\(\Delta p\) を計算し、その結果を物理的に解釈せよ。
2. 一般に、\(\Delta x\) と \(\Delta p\) の間には不等式
\[
\begin{align}
\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \tag{1}
\end{align}
\]
が成立する。これを示すために、まず、任意の演算子 \(\hat{O}\) とそのエルミート共役演算子 \(\hat{O}^\dagger\) に対して
\[
\begin{aligned}
\langle \hat{O}^\dagger \hat{O} \rangle \geq 0
\end{aligned}
\]
が成立することを示せ。
3. 次に、\(\hat{O} = t\Delta \hat{x} - i \Delta \hat{p}\) (\(t\) は任意の実数) とおくことで不等式 (1) を示せ。
4. 設問 3 の \(\hat{O}\) の固有値が 0 を含むための \(t\) に関する条件を述べ、固有値 0 に対応する固有状態が不等式 (1) の等号を満足することを示せ。
5. 不等式 (1) の等号が成立する状態を最小不確定状態という。設問 4 の結果を用いて、最小不確定状態を記述するように規格化された波動関数を求めよ。
Kai
1.
\[
\begin{aligned}
\langle \hat{x} \rangle &= \int_{- \infty}^\infty dx \ \psi^*(x) x \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi} a} \int_{-\infty}^\infty dx \ x \exp \left( - \frac{x^2}{a^2}\right) = 0 \\
\langle \hat{x}^2 \rangle &= \int_{- \infty}^\infty dx \ \psi^*(x) x^2 \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi} a} \int_{-\infty}^\infty dx \ x^2 \exp \left( - \frac{x^2}{a^2}\right) \\
&= \frac{1}{\sqrt{\pi} a} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi a^6} = \frac{a^2}{2} \\
\langle \hat{p} \rangle &= \frac{\hbar}{i} \int_{- \infty}^\infty dx \ \psi^*(x) \frac{d}{dx} \psi(x) = 0 \\
\langle \hat{p}^2 \rangle &= - \hbar^2 \int_{- \infty}^\infty dx \ \psi^*(x) \frac{d^2}{dx^2} \psi(x) = - \frac{\hbar^2}{\sqrt{\pi} a^3} \int_{- \infty}^\infty dx \ \left( \frac{x^2}{a^2} - 1 \right) \exp \left( - \frac{x^2}{a^2} \right) \\
&= - \frac{\hbar^2}{\sqrt{\pi} a^3} \left( \frac{\sqrt{\pi a^6}}{2a^2} - \sqrt{\pi a^2} \right) = \frac{\hbar^2}{2a^2} \\
\Delta x &= \sqrt{\langle \hat{x}^2 \rangle - \langle \hat{x} \rangle^2} = \frac{a}{\sqrt{2}} \\
\Delta p &= \sqrt{\langle \hat{p}^2 \rangle - \langle \hat{p} \rangle^2} = \frac{\hbar}{\sqrt{2} a}
\end{aligned}
\]
\(\Delta x\) は \(a\) に比例し、 \(\Delta p\) は \(a\) に反比例するので、
\(\Delta x\) と \(\Delta p\) は互いに反比例し、
\(\Delta x \Delta p = \hbar / 2\) である。
これは与えられた (1) の等号が成り立つ場合であり、最小不確定状態である。
2.
波動関数 \(\varphi(x)\) で表される状態について、
\[
\begin{aligned}
\langle \hat{O}^\dagger \hat{O} \rangle &= \int_{- \infty}^\infty dx \ \varphi^*(x) \hat{O}^\dagger \hat{O} \varphi(x) \\
&= \int_{- \infty}^\infty dx \ \left( \hat{O} \varphi(x) \right)^* \hat{O} \varphi(x) \\
&= \int_{- \infty}^\infty dx \ \left| \hat{O} \varphi(x) \right|^2 \geq 0
\end{aligned}
\]
がわかる。
3.
まず、 \(\hat{O} = t \Delta \hat{x} - i \Delta \hat{p}\) のとき、
\(\hat{O}^\dagger = t \Delta \hat{x} + i \Delta \hat{p}\) である。
また、正準交換関係 \(\hat{x} \hat{p} - \hat{p} \hat{x} = i \hbar\) から、
\(\Delta \hat{x} \Delta \hat{p} - \Delta \hat{p} \Delta \hat{x} = i \hbar\)
がわかるので、
\[
\begin{aligned}
\langle \hat{O}^\dagger \hat{O} \rangle
&= \left\langle
\left( t \Delta \hat{x} + i \Delta \hat{p} \right)
\left( t \Delta \hat{x} - i \Delta \hat{p} \right)
\right\rangle \\
&= t^2 \left\langle \left( \Delta \hat{x} \right)^2 \right\rangle - it \left\langle
\Delta \hat{x} \Delta \hat{p} - \Delta \hat{p} \Delta \hat{x}
\right\rangle
+ \left\langle \left( \Delta \hat{p} \right)^2 \right\rangle \\
&= t^2 \left( \Delta x \right)^2 + \hbar t + \left( \Delta p \right)^2 \\
&= \left( \Delta x \right)^2 \left( t + \frac{\hbar}{2 \left( \Delta x \right)^2} \right)
- \frac{\hbar^2}{2 \left( \Delta x \right)^2} + \left( \Delta p \right)^2
\end{aligned}
\]
である。
一方、2. から、任意の実数 \(t\) について \(\langle \hat{O}^\dagger \hat{O} \rangle \geq 0\) であるから、
\[
\begin{aligned}
- \frac{\hbar^2}{2 \left( \Delta x \right)^2} + \left( \Delta p \right)^2 &\geq 0 \\
\therefore \ \ \Delta x \Delta p &\geq \frac{\hbar}{2}
\end{aligned}
\]
がわかる。
4.
\(\hat{O}\) が固有値 \(0\) をもつということは、それに属する固有関数について
\(\langle \hat{O}^\dagger \hat{O} \rangle = 0\)
が成り立つということである。3. より、その条件は
\[
\begin{aligned}
t = - \frac{\hbar}{2 ( \Delta x )^2}
, \ \
\Delta x \Delta p = \frac{\hbar}{2}
\end{aligned}
\]
である。
5.
次のように書くことにする：
\[
\begin{aligned}
s^2 = \left( \Delta x \right)^2
, \ \
\bar{x} = \langle \hat{x} \rangle
, \ \
\bar{p} = \langle \hat{p} \rangle
\end{aligned}
\]
- で求めた \(t\) を使って \(\hat{O}\) は次のようになる：
\[
\begin{aligned}
\hat{O}
&= - \frac{\hbar}{2 s^2} \left( \hat{x} - \bar{x} \right)
- i \left( \hat{p} - \bar{p} \right) \\
&= - \frac{\hbar}{2 s^2} \left( x - \bar{x} \right)
- i \left( \frac{\hbar}{i} \frac{d}{dx} - \bar{p} \right) \\
&= - \hbar \left( \frac{d}{dx} + \frac{ x - \bar{x} }{2 s^2}
- \frac{i \bar{p}}{\hbar} \right)
\end{aligned}
\]
求める波動関数 \(u(x)\) は、\(\hat{O} u(x) = 0\) が成り立つので、
\[
\begin{aligned}
\frac{du(x)}{dx}
&= \left( - \frac{ x - \bar{x} }{2 s^2} + \frac{i \bar{p}}{\hbar} \right) u(x) \\
\frac{du}{u}
&=
\left( - \frac{ x - \bar{x} }{2 s^2}
+ \frac{i \bar{p}}{\hbar} \right) dx \\
\therefore \ \
u(x) &= C \exp \left( - \frac{ (x - \bar{x})^2 }{4 s^2}
+ \frac{i \bar{p} x}{\hbar} \right)
\end{aligned}
\]
ここで \(C\) は積分定数であり、規格化条件から \(C = 1/(2 \pi s^2)^{1/4}\) がわかるので、結局、
\[
\begin{aligned}
u(x) = \left( \frac{1}{2 \pi s^2} \right)^\frac{1}{4}
\exp \left( - \frac{ (x - \bar{x})^2 }{4 s^2}
+ \frac{i \bar{p} x}{\hbar} \right)
\end{aligned}
\]
を得る。