東京大学 理学系研究科 物理学専攻 2020年度 物理学 第1問
Author
Miyake
Description
第1問
量子力学的二状態系を考えよう。この場合、観測量は \(2 \times 2\) のエルミート行列で表される演算子に対応する。以下では次の行列表示をもつ観測量
\[
\sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma(\theta) = (\cos \theta) \sigma_z + (\sin \theta) \sigma_x \tag{1}
\]
を考え、状態ベクトルを
\[
\mid \uparrow \rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mid \downarrow \rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \tag{2}
\]
を用いて表す。
1. 状態 \(\mid \uparrow \rangle\) において観測量 \(\sigma_z\) を測定した。測定結果が取りうる値 \(s_z\)、およびその期待値を求めよ。
2. 状態 \(\mid \uparrow \rangle\) において観測量 \(\sigma_x\) を測定した。測定結果が取りうる値 \(s_x\)、およびその期待値を求めよ。
3. 状態 \(\mid \uparrow \rangle\) において観測量 \(\sigma(\theta)\) を測定した。測定結果が取りうる値 \(s_\theta\)、およびその期待値を求めよ。
上記の二状態系 \(A, B\) からなる複合系を考える。その状態は四状態
\[
\mid \uparrow \rangle_A | \uparrow \rangle_B, \quad \mid \uparrow \rangle_A \mid \downarrow \rangle_B, \quad \mid \downarrow \rangle_A \mid \uparrow \rangle_B, \quad \mid \downarrow \rangle_A \mid \downarrow \rangle_B \tag{3}
\]
の線形結合で書ける。そのような複合系を準備したのち、二状態系 \(A, B\) をそれぞれ別の場所で測定する。模式図は以下を参照せよ：
模式図：
部分系\(A\) を測定 \(\longleftarrow\) 複合系を準備 \(\longrightarrow\) 部分系 \(B\) を測定
この設定の下で、次の実験を考える。
実験：
状態
\[
| \Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \mid \uparrow \rangle_A \mid \downarrow \rangle_B - \mid \downarrow \rangle_A \mid \uparrow \rangle_B \right) \tag{4}
\]
の複合系を毎回新たに準備し、部分系 \(A\) において観測量 \(\sigma^A_z, \sigma^A_x, \sigma^A(\theta)\) のいずれか、部分系 \(B\) において観測量 \(\sigma^B_z, \sigma^B_x, \sigma^B(\varphi)\) のいずれかを測定する。
この実験を、何度も繰り返すことを考えよう。
4. 毎回、部分系 \(A\) で \(\sigma^A_z\)、部分系 \(B\) で \(\sigma^B_z\) を測定する。取りうる測定結果の組 \((s^A_z, s^B_z)\) を述べよ。また、積 \(s^A_z s^B_z\) の期待値を求めよ。
5. 毎回、部分系 \(A\) で \(\sigma^A_x\)、部分系 \(B\) で \(\sigma^B_x\) を測定する。取りうる測定結果の組 \((s^A_x, s^B_x)\) を述べよ。また、積 \(s^A_x s^B_x\) の期待値を求めよ。
6. 毎回、部分系 \(A\) で \(\sigma^A(\theta)\)、部分系 \(B\) で \(\sigma^B(\theta)\) を測定する。この場合、測定結果の組 \((s^A_\theta, s^B_\theta)\) は \(s^A_\theta = -s^B_\theta = \pm 1\) を満たすことを示せ。
7. 毎回、部分系 \(A\) で \(\sigma^A(\theta)\)、部分系 \(B\) で \(\sigma^B(\varphi)\) を測定する。取りうる測定結果の組 \((s^A_0, s^B_\varphi)\) を述べよ。また、積 \(s^A_0 s^B_\varphi\) の期待値を求めよ。
8. 各回、部分系 \(A\) で測定する観測量 \(\sigma^A(\theta)\) を \(\sigma^A(0^\circ)、\sigma^A(120^\circ)、\sigma^A(240^\circ)\) からそれぞれ ⅓ の確率で測定者が選択することにし、また、部分系 \(B\) でも、測定する観測量 \(\sigma^B(\varphi)\) を \(\sigma^B(0^\circ)、\sigma^B(120^\circ)、\sigma^B(240^\circ)\) からそれぞれ ⅓ の確率で測定者が選択することにする。測定結果の組 \((s^A, s^B)\) の取りうる値を述べよ。また、積 \(s^A s^B\) の期待値を求め、それが 0 になることを示せ。
これまでは量子力学を用いて考察を行ったが、そのようにして得られた設問 8 の結論は、以下でのべる決定論的仮説と矛盾することを確認しよう。
設問 8 の設定において、量子力学的には、各回の実験では、部分系 \(A\) について \(\sigma^A(0^\circ)、\sigma^A(120^\circ)、\sigma^A(240^\circ)\) のどれか一つ、部分系 \(B\) について \(\sigma^B(0^\circ)、\sigma^B(120^\circ)、\sigma^B(240^\circ)\) のどれか一つしか測定できない。これに対し、決定論的に、次のように考えてみよう。
仮説：
各回の実験ごとに、実際に対応する観測量を測定しなかったかにかかわらず、部分系 \(A\) で \(\sigma^A(0^\circ)、\sigma^A(120^\circ)、\sigma^A(240^\circ)\) を測定したとすると得られるであろう測定結果 \((s^A_{0^\circ}, s^A_{120^\circ}, s^A_{240^\circ})\)、部分系 \(B\) で \(\sigma^B(0^\circ)、\sigma^B(120^\circ)、\sigma^B(240^\circ)\) を測定した場合に得られるであろう測定結果 \((s^B_{0^\circ}, s^B_{120^\circ}, s^B_{240^\circ})\) があらかじめ決まっているとする。設問 6 よりそれらは
\[
s^A_{0^\circ} = -s^B_{0^\circ}, \quad s^A_{120^\circ} = -s^B_{120^\circ}, \quad s^A_{240^\circ} = -s^B_{240^\circ} \tag{5}
\]
を満たすとする。
9. 上記の仮説のもと、設問 8 と同様、部分系 \(A\) で \(\sigma^A(0^\circ)\)、\(\sigma^A(120^\circ)\)、\(\sigma^A(240^\circ)\) をそれぞれ ⅓ の確率で測定し、部分系 \(B\) で \(\sigma^B(0^\circ)\)、\(\sigma^B(120^\circ)\)、\(\sigma^B(240^\circ)\) をそれぞれ ⅓ の確率で測定する。このとき、\(\sigma^A(\theta)\) を測定した際に得られる測定結果を \(s^A = s^A_\theta\)、\(\sigma^B(\varphi)\) を測定した際に得られる測定結果を \(s^B = s^B_\varphi\) と書く。
(i) \((s^A_{0^\circ}, s^A_{120^\circ}, s^A_{240^\circ}) = (+1, +1, +1)\) の場合、\(s^A s^B\) の期待値を求めよ。
(ii) \((s^A_{0^\circ}, s^A_{120^\circ}, s^A_{240^\circ}) = (+1, +1, -1)\) の場合、\(s^A s^B\) の期待値を求めよ。
(iii) 八通り \((s^A_{0^\circ}, s^A_{120^\circ}, s^A_{240^\circ}) = (\pm 1, \pm 1, \pm 1)\) が任意に起こる場合、\(s^A s^B\) の期待値は負であることを示せ。
設問 8 の量子力学による結果では \(s^A s^B\) の期待値は 0 であり、上記の決定論的仮説のもとでは \(s^A s^B\) の期待値は負となった。これより、量子力学は上記の決定論的仮説とは矛盾することがわかる。
（この問題は、N. David Mermin, Physics Today 38, 4, pp.38-47 (1985) を参考にした。）
Kai
1.
\(\sigma_z \left| \uparrow \right\rangle = \left| \uparrow \right\rangle\)であるから、
\(\left| \uparrow \right\rangle\)は
\(\sigma_z\) の固有値 \(1\) に属する固有ベクトルであり、
\(s_z = 1\) である。
また、期待値は、\(\left\langle \uparrow \right| \sigma_z \left| \uparrow \right\rangle = 1\)である。
2.
\(\sigma_x\) の固有値は \(\pm 1\) であり、
固有値 \(1\) に属する固有ベクトル \(\left| x \uparrow \right\rangle\) ,
固有値 \(-1\) に属する固有ベクトル \(\left| x \downarrow \right\rangle\)
はそれぞれ、
\[
\begin{aligned}
\left| x \uparrow \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
, \ \ \ \
\left| x \downarrow \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
である。
よって、
\[
\begin{aligned}
\left| \uparrow \right\rangle
= \frac{1}{\sqrt{2}} \left| x \uparrow \right\rangle
+ \frac{1}{\sqrt{2}} \left| x \downarrow \right\rangle
\end{aligned}
\]
が成り立つから、 \(s_x = \pm 1\)である。
また、期待値は、
\(\left\langle \uparrow \right| \sigma_x \left| \uparrow \right\rangle = 0\)
である。
3.
\[
\begin{aligned}
\sigma ( \theta )
= (\cos \theta) \sigma_z + (\sin \theta) \sigma_x
= \begin{pmatrix}
\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & - \cos \theta
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
の固有値は \(\pm 1\) であり、
固有値 \(1\) に属する固有ベクトル \(\left| \theta \uparrow \right\rangle\) ,
固有値 \(-1\) に属する固有ベクトル \(\left| \theta \downarrow \right\rangle\)
はそれぞれ、
\[
\begin{aligned}
\left| \theta \uparrow \right\rangle
=
\begin{pmatrix} \cos \frac{\theta}{2} \\ \sin \frac{\theta}{2} \end{pmatrix}
, \ \ \ \
\left| \theta \downarrow \right\rangle
=
\begin{pmatrix} \sin \frac{\theta}{2} \\ - \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
である。
よって、
\[
\begin{aligned}
\left| \uparrow \right\rangle
= \cos \frac{\theta}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle
+ \sin \frac{\theta}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle
\end{aligned}
\]
が成り立つから、 \(s_\theta = \pm 1\) である。
（ただし、\(\theta = 0\) のときは \(s_\theta = 1\) 、\(\theta = \pi\) のときは \(s_\theta = -1\)である。）
また、期待値は、\(\left\langle \uparrow \right| \sigma(\theta) \left| \uparrow \right\rangle = \cos \theta\)である。
4.
\(\left( s_z^A, s_z^B \right) = (1, -1), (-1, 1)\)であり、\(s_z^A s_z^B\) の期待値は \(-1\) である。
5.
上の 2. で考えたように、
\[
\begin{aligned}
\left| \uparrow \right\rangle
&= \frac{1}{\sqrt{2}} \left| x \uparrow \right\rangle
+ \frac{1}{\sqrt{2}} \left| x \downarrow \right\rangle
\\
\left| \downarrow \right\rangle
&= \frac{1}{\sqrt{2}} \left| x \uparrow \right\rangle
- \frac{1}{\sqrt{2}} \left| x \downarrow \right\rangle
\end{aligned}
\]
であるから、
\[
\begin{aligned}
\left| \Psi \right\rangle
&= \frac{1}{\sqrt{2}} \left(
\left| \uparrow \right\rangle_A \left| \downarrow \right\rangle_B
-
\left| \downarrow \right\rangle_A \left| \uparrow \right\rangle_B
\right)
\\
&= \frac{1}{2 \sqrt{2}} \left(
\left( \left| x \uparrow \right\rangle_A
+ \left| x \downarrow \right\rangle_A \right)
\left( \left| x \uparrow \right\rangle_B
- \left| x \downarrow \right\rangle_B \right)
-
\left( \left| x \uparrow \right\rangle_A
- \left| x \downarrow \right\rangle_A \right)
\left( \left| x \uparrow \right\rangle_B
+ \left| x \downarrow \right\rangle_B \right)
\right)
\\
&= - \frac{1}{\sqrt{2}} \left(
\left| x \uparrow \right\rangle_A \left| x \downarrow \right\rangle_B
-
\left| x \downarrow \right\rangle_A \left| x \uparrow \right\rangle_B
\right)
\end{aligned}
\]
となる。
よって、\(\left( s_x^A, s_x^B \right) = (1, -1), (-1, 1)\) であり、
\(s_x^A s_x^B\) の期待値は \(-1\) である。
6.
上の 3. で考えたように、
\[
\begin{aligned}
\left| \uparrow \right\rangle
&= \cos \frac{\theta}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle
+ \sin \frac{\theta}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle
\\
\left| \downarrow \right\rangle
&= \sin \frac{\theta}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle
- \cos \frac{\theta}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle
\end{aligned}
\]
であるから、
\[
\begin{aligned}
\left| \Psi \right\rangle
&= \frac{1}{\sqrt{2}} \left(
\left| \uparrow \right\rangle_A \left| \downarrow \right\rangle_B
-
\left| \downarrow \right\rangle_A \left| \uparrow \right\rangle_B
\right)
\\
&= \frac{1}{\sqrt{2}} \left(
\left(
\cos \frac{\theta}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle_A
+ \sin \frac{\theta}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle_A
\right)
\left(
\sin \frac{\theta}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle_B
- \cos \frac{\theta}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle_B
\right)
-
\left(
\sin \frac{\theta}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle_A
- \cos \frac{\theta}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle_A
\right)
\left(
\cos \frac{\theta}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle_B
+ \sin \frac{\theta}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle_B
\right)
\right)
\\
&= - \frac{1}{\sqrt{2}} \left(
\left| \theta \uparrow \right\rangle_A
\left| \theta \downarrow \right\rangle_B
-
\left| \theta \downarrow \right\rangle_A
\left| \theta \uparrow \right\rangle_B
\right)
\end{aligned}
\]
となる。
よって、\(\left( s_\theta^A, s_\theta^B \right) = (1, -1), (-1, 1)\) である。
7.
\[
\begin{aligned}
\left| \Psi \right\rangle
&= \frac{1}{\sqrt{2}} \left(
\left| \uparrow \right\rangle_A \left| \downarrow \right\rangle_B
-
\left| \downarrow \right\rangle_A \left| \uparrow \right\rangle_B
\right)
\\
&= \frac{1}{\sqrt{2}} \left(
\left(
\cos \frac{\theta}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle_A
+ \sin \frac{\theta}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle_A
\right)
\left(
\sin \frac{\varphi}{2} \left| \varphi \uparrow \right\rangle_B
- \cos \frac{\varphi}{2} \left| \varphi \downarrow \right\rangle_B
\right)
-
\left(
\sin \frac{\theta}{2} \left| \theta \uparrow \right\rangle_A
- \cos \frac{\theta}{2} \left| \theta \downarrow \right\rangle_A
\right)
\left(
\cos \frac{\varphi}{2} \left| \varphi \uparrow \right\rangle_B
+ \sin \frac{\varphi}{2} \left| \varphi \downarrow \right\rangle_B
\right)
\right)
\\
&= \frac{1}{\sqrt{2}} \left(
\sin \frac{\varphi - \theta}{2}
\left| \theta \uparrow \right\rangle_A
\left| \varphi \uparrow \right\rangle_B
+
\sin \frac{\varphi - \theta}{2}
\left| \theta \downarrow \right\rangle_A
\left| \varphi \downarrow \right\rangle_B
-
\cos \frac{\varphi - \theta}{2}
\left| \theta \uparrow \right\rangle_A
\left| \varphi \downarrow \right\rangle_B
+
\cos \frac{\varphi - \theta}{2}
\left| \theta \downarrow \right\rangle_A
\left| \varphi \uparrow \right\rangle_B
\right)
\end{aligned}
\]
となる。
よって、\(\varphi - \theta = 0\) のときは
\(\left( s_\theta^A, s_\varphi^B \right) = (1, -1), (-1, 1)\)
、
\(\varphi - \theta = \pm \pi\) のときは
\(\left( s_\theta^A, s_\varphi^B \right) = (1, 1), (-1, -1)\)
、
それ以外のときは
\(\left( s_\theta^A, s_\varphi^B \right) = (1, 1), (-1, -1), (1, -1), (-1, 1)\)
である。
また、 \(s_\theta^A s_\varphi^B\) の期待値は、次のように計算できる：
\[
\begin{aligned}
&\frac{1}{2} \sin^2 \frac{\varphi - \theta}{2} \cdot 2 \cdot 1
+
\frac{1}{2} \cos^2 \frac{\varphi - \theta}{2} \cdot 2 \cdot (-1)
\\
&=
\sin^2 \frac{\varphi - \theta}{2}
-
\cos^2 \frac{\varphi - \theta}{2}
\\
&=
- \cos ( \varphi - \theta )
\end{aligned}
\]
8.
\(\varphi - \theta\) のとりうる値は、
\(\varphi - \theta = -240^\circ, -120^\circ, 0^\circ, 120^\circ, 240^\circ\)
であり、その確率はそれぞれ
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{9}, \frac{2}{9}, \frac{3}{9}, \frac{2}{9}, \frac{1}{9}
\end{aligned}
\]
である。
例えば、 \(\varphi - \theta = -240^\circ\) のとき、
\[
\begin{aligned}
\left| \Psi \right\rangle
= \frac{1}{\sqrt{2}} \left(
- \frac{\sqrt{3}}{2}
\left| \theta \uparrow \right\rangle_A
\left| \varphi \uparrow \right\rangle_B
-
\frac{\sqrt{3}}{2}
\left| \theta \downarrow \right\rangle_A
\left| \varphi \downarrow \right\rangle_B
-
\frac{1}{2}
\left| \theta \uparrow \right\rangle_A
\left| \varphi \downarrow \right\rangle_B
+
\frac{1}{2}
\left| \theta \downarrow \right\rangle_A
\left| \varphi \uparrow \right\rangle_B
\right)
\end{aligned}
\]
であるから、このとき、\(s^A s^B\) のとりうる値は、\(\pm 1\) であり、 \(1, -1\) である確率はそれぞれ、
\[
\begin{aligned}
\frac{3}{8} \cdot 2 = \frac{3}{4}
, \ \
\frac{1}{8} \cdot 2 = \frac{1}{4}
\end{aligned}
\]
である。また、 \((s^A, s^B)\) がとりうる値は、
\((s^A, s^B) = (1, 1), (1, -1), (1, -1), (-1, 1)\)
である。
\(\varphi - \theta = -120^\circ, 120^\circ, 240^\circ\) のときも同様である。
\(\varphi - \theta = 0^\circ\) のときは、
\[
\begin{aligned}
\left| \Psi \right\rangle
= - \frac{1}{\sqrt{2}} \left(
\left| \theta \uparrow \right\rangle_A
\left| \varphi \downarrow \right\rangle_B
-
\left| \theta \downarrow \right\rangle_A
\left| \varphi \uparrow \right\rangle_B
\right)
\end{aligned}
\]
であるから、
\((s^A, s^B)\) がとりうる値は \((s^A, s^B) = (1, -1), (-1, 1)\) であり、
\(s^A s^B\) のとりうる値は \(-1\) のみである。
以上より、
\((s^A, s^B)\) がとりうる値は、
\((s^A, s^B) = (1, 1), (1, -1), (1, -1), (-1, 1)\)
であり、
\(s^A s^B\) の期待値は、
\[
\begin{aligned}
\frac{6}{9} \cdot
\left( \frac{3}{4} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot (-1) \right)
+ \frac{3}{9} \cdot (-1)
= 0
\end{aligned}
\]
である。
9.
(i)
このとき、
\(\left( s_{0^\circ}^B, s_{120^\circ}^B, s_{240^\circ}^B \right) = (-1,-1,-1)\)
であるから、 \(s^A s^B\) は必ず \(-1\) であり、期待値も \(-1\) である。
(ii)
このとき、\(\left( s_{0^\circ}^B, s_{120^\circ}^B, s_{240^\circ}^B \right) = (-1,-1,+1)\)
であるから、 \(s^A s^B\) が
\(1\) になるのは \(2 \times 2 + 1 \times 1 = 5\) 通り、
\(-1\) になるのは \(2 \times 1 + 1 \times 2 = 4\) 通りである。
これらは等確率であるから、 \(s^A s^B\) の期待値は、
\[
\begin{aligned}
\frac{5}{9} \cdot 1 + \frac{4}{9} \cdot (-1) = \frac{1}{9}
\end{aligned}
\]
である。
(iii)
\(\left( s_{0^\circ}^A, s_{120^\circ}^A, s_{240^\circ}^A \right) = (+1,+1,+1), (-1,-1,-1)\)
のとき、(i) より、 \(s^A s^B\) の期待値は \(-1\) である。
\(\left( s_{0^\circ}^A, s_{120^\circ}^A, s_{240^\circ}^A \right) = (+1,+1,-1), (+1,-1,+1), (-1,+1,+1), (+1,-1,-1), (-1,+1,-1), (-1,-1,+1)\)
のとき、(ii) より、 \(s^A s^B\) の期待値は \(1/9\) である。
よって、 \(s^A s^B\) の期待値は
\[
\begin{aligned}
\frac{2}{8} \cdot (-1) + \frac{6}{8} \cdot \frac{1}{9}
= - \frac{1}{6}
\end{aligned}
\]
である。