東京大学 理学系研究科 化学専攻 2020年度 数理科学
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Kai
(1)
(a)
質点に働く合力の大きさは
\[
\begin{aligned}
mg \tan \theta \approx mg \cdot \frac{r}{l}
\end{aligned}
\]
なので \(r\) に比例し、比例係数は
\[
\begin{aligned}
k = \frac{mg}{l}
\end{aligned}
\]
である。
(2)
(b)
\[
\begin{aligned}
m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx
\end{aligned}
\]
(C)
\[
\begin{aligned}
x = A \sin \left( \sqrt{\frac{k}{m}} t \right)
+ B \cos \left( \sqrt{\frac{k}{m}} t \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ (A,B \text{ は積分定数})
\end{aligned}
\]
(d)
\[
\begin{aligned}
T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}
\end{aligned}
\]
(3)
(e)
遠心力
(f)
\[
\begin{aligned}
\frac{dV_{\mathrm{eff}}(r)}{dr}
&= kr - \frac{L^2}{mr^3}
\\
&= \frac{mkr^4 - L^2}{mr^3}
\end{aligned}
\]
であり、 \(r_0 \gt 0\) なので
\[
\begin{aligned}
r_0 &= \left( \frac{L^2}{mk} \right)^\frac{1}{4}
,\\
V_\mathrm{eff}(r_0)
&= \frac{k}{2} \frac{L}{\sqrt{mk}} + \frac{L^2}{2m} \frac{\sqrt{mk}}{L}
\\
&= L \sqrt{\frac{k}{m}}
\end{aligned}
\]
である。
(g)
\[
\begin{aligned}
\frac{d^2V_{\mathrm{eff}}(r)}{dr^2}
&= k + \frac{3L^2}{mr^4}
\\
\therefore \ \
\frac{d^2V_{\mathrm{eff}}(r_0)}{dr^2}
&= k + \frac{3L^2}{mr_0^4}
\\
&= k + \frac{3L^2}{m} \frac{mk}{L^2}
\\
&= 4k
\\
\therefore \ \
a
&= \frac{1}{2!} \frac{d^2V_{\mathrm{eff}}(r_0)}{dr^2}
\\
&= 2k
\end{aligned}
\]
(h)
(2) と同様に考えると、次がわかる：
\[
\begin{aligned}
\nu_r
&= \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{4k}{m}}
\\
&= \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2a}{m}}
\end{aligned}
\]
(4)
(i)
2倍
(j)
角運動量保存則より、楕円軌道である。 楕円は（長軸と短軸の長さが等しくない場合）、 中心点 O に関する回転対称性を考えると最小角度は180°であるので、 \(\nu_r / \nu_x = 2\) がわかる。