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東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2023年度 専門基礎科目 3.2 確率・統計

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之遥

Description

問1

\(X_1, X_2\) を互いに独立で、共に区間 \([0,1]\) 上の連続一様分布に従う確率変数とする。以下の問に答えよ。導出の過程は省き、答えのみ記すこと。

(1) \(X_1\) の期待値 \(E[X_1]\) と分散 \(V[X_1]\) を求めよ。

(2) \(X\) を \(X_1, X_2\) の最大値とする。確率 \(\Pr \big( X \geq \frac{1}{3}\big)\) を求めよ。

問2

\(Y_1\) を区間 \([0,1]\) 上の連続一様分布に従う確率変数とする。\(Y_2\) を \(Y_1\) を条件とした以下の条件付き確率密度関数に従う確率変数とする。

\[ f_{Y_2|Y_1}(y_2|y_1) = \frac{1}{2} e^{-|y_2 - y_1|} \quad (-\infty < y_2 < \infty) \]

ここで、 \(|y_2 - y_1|\) は \(y_2 - y_1\) の絶対値を、 \(e\) は自然対数の底を表す。以下の問に答えよ。導出の過程は省き、答えのみ記すこと。

(1) \(Y_2\) の周辺確率密度関数 \(f_{Y_2}(y_2)\) を求めよ。

(2) 確率 \(\Pr (Y_2 \geq 0)\) を求めよ。

問3

\(\{ Z_1, Z_2, \ldots, Z_n \}\) を区間 \([0, \theta]\) 上の連続一様分布からの大きさ \(n\) の無作為標本とする。ここで、\(\theta\) は正のパラメータである。\(\hat{\theta} = \frac{2}{n} \sum_{i=1}^{n} Z_i\) を \(\theta\) の推定量とする。以下の問に答えよ。

答えに加えて導出の過程も記すこと。

(1) \(\hat{\theta}\) は \(\theta\) の不偏推定量であることを示せ。

(2) \(\hat{\theta}\) の分散 \(V[\hat{\theta}]\) を求めよ。

(3) \(n = 2\) のとき、 \(\hat{\theta}\) の確率密度関数を求めよ。

Kai

問1

(1)

\[ E[X_1] = \frac{1}{2},\quad V[X_1] = \frac{1}{12} \]

(2)

\[ \Pr(x \ge \frac{1}{3}) = \frac{8}{9} \]

問2

(1)

\[ f_{Y_2}(y_2) = \left\{ \begin{aligned} &\frac{1}{2}e^{-y_2}(e - 1) \qquad \quad y_2 > 1\\ &\frac{1}{2}e^{y_2}(1 - \frac{1}{e}) \qquad \quad y_2 < 0\\ &\frac{1}{2}(2 - e^{-y_2 - e^{{y_2} - 1}}) \quad 0 \le y_2 \le 1 \end{aligned} \right. \]

(2)

\[ \frac{1 + \frac{1}{e}}{2} \]

問3

(1)

\[ \begin{aligned} &E[Z_i] = \frac{\theta}{2},i=1,2,\dots,n \\ &E[\hat{\theta}] = \frac{2}{n}E[Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_n] = \frac{2}{n}(E[Z_1] + E[Z_2] + \cdots + E[Z_n]) \\ &= \frac{2}{n}(\frac{\theta}{2} + \frac{\theta}{2} + \cdots + \frac{\theta}{2}) = \theta \\ &\therefore \hat{\theta}\text{ is an unbiased estimator of }\theta \end{aligned} \]

(2)

\[ \begin{aligned} &V[Z_i] = \frac{\theta ^2}{12},i = 1,2,\dots,n \\ &V[\hat{\theta}] = \frac{4}{n^2}V[Z_1 + Z_2 + \cdots Z_n] = \frac{4}{n^2}(V[Z_1] + V[Z_2] + \cdots + V[Z_n]) \\ &= \frac{4}{n^2}\bigg(\frac{\theta ^2}{12} + \frac{\theta ^2}{12} + \cdots + \frac{\theta ^2}{12}\bigg) = \frac{\theta ^2}{3n} \end{aligned} \]

(3)

\[ \text{When} \quad n = 2,\hat{\theta} = Z_1 + Z_2 \]
\[ \text{where} \quad f_{Z_1}(z_1) = \left\{ \begin{aligned} &1/\theta \quad &0 \le z_1 \le \theta \\ &0 \quad &\text{otherwise} \end{aligned} \right. , f_{Z_2}(z_2) = \left\{ \begin{aligned} &1/\theta \quad &0 \le z_2 \le \theta \\ &0 \quad &\text{otherwise} \end{aligned} \right.. \]
\[ f_{\hat{\theta}}(x) = f_{Z_1 + Z_2}(x) = \int_{-\infty}^{\infty}f_{Z_1}(z_1)f_{Z_2}(x - z_1)\text{d}z_1 \]
\[ \text{When} \quad \left\{ \begin{aligned} & 0 \le z_1 \le \theta \\ & 0 \le x - z_1 \le \theta \\ \end{aligned} \right. , \text{which means} \quad \left\{ \begin{aligned} 0 \le z_1 \le \theta \\ x - \theta \le z_1 \le x \\ \end{aligned} \right. , \quad f_{Z_1}(z_1) \neq 0,\quad f_{Z_2}(x - z_1) \neq 0 \]
\[ \begin{aligned} &(i) \quad \text{When } x < 0 \text{ or } x > 2\theta \quad ,f_{\hat{\theta}}(x) = 0 \\ &(ii) \quad \text{When } 0 \le x \le \theta \quad ,f_{\hat{\theta}}(x) = \int_0^{x}\frac{1}{\theta^2}\text{d}z_1 = \frac{x}{\theta^2} \\ &(iii) \quad \text{When } \theta < x \le 2\theta \quad ,f_{\hat{\theta}}(x) = \int_{x - \theta}^{\theta} \frac{1}{\theta^2}\text{d}z_1 = \frac{2\theta - x}{\theta^2} \end{aligned} \]
\[ \therefore \left\{ \begin{aligned} &\frac{x}{\theta^2} &0 \le x \le \theta \\ &\frac{2\theta - x}{\theta^2} &\theta < x \le 2\theta \\ &0 &\text{otherwise} \end{aligned} \right. \]