東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2023年度 専門基礎科目 2.1 線形代数

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之遥

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問1

行列 \(A\) とベクトル \(\mathbf{b}\) を

\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ a & 0 & 1 \\ 1-a & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} , \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \]

とする。ここで \(a\) は実定数である。また, \(\mathbf{x}_n(n = 0,1,,\dots)\) を \(3\) 次元の実ベクトルとする。このとき以下の問に答えよ。 導出の過程を省略し, 答えのみを示せ。

(1) \(A\) の固有値を求めよ。

(2) \(A\) のランク \(r\) が \(r < 3\) であるとする。\(a\) を求めよ。

(3) \(A\mathbf{v} = 0\) を満たすベクトル \(\mathbf{v}\) の集合を求めよ。

(4) 写像 \(\mathbf{x}_{n + 1} = A\mathbf{x}_n(n = 0,1,2,\dotsb)\) を考える。任意の \(\mathbf{x}_0\) に対して

\[ \mathbf{x}^* = \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbf{x}_n \]

が存在するための \(a\) の条件を求めよ。

(5) \(a\) が (4) で求めた条件を満たすとする。このとき, \(\mathbf{x}_0 = \mathbf{b}\) に対する \(\mathbf{x}^*\) を求めよ。

問2

次の \(3\) つのベクトルを考える：

\[ \mathbf{u}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}, \mathbf{u}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \mathbf{u}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]

以下の問いに答えよ。

(1) これらのベクトルが \(1\) 次独立であるかを判定せよ。

(2) これらのベクトルの \(1\) 次結合で表される点 \((x,y,z)\) の集合が従う方程式を \(z = lx + my\) とする。\(l\) と \(m\) を求めよ。導出の過程を省略し, 答えのみを示せ。

問3

\(xy\) 直交座標系上の \(3\) 直線 \(a_ix + b_iy + c_i = 0(i = 1,2,3)\) が \(1\) 点で交わる, あるいは, 平行であるための必要十分条件は

\[ c_1f_1 + c_2f_2 + c_3f_3 = 0 \]

である。ここで, \(f_i(i=1,2,3)\) はある関数

\[ f_i = f_i(a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3) \]

である。この命題に対して次の問に答えよ。

(1) \(3\) 直線が \(1\) 点で交わるという条件から関数 \(f_i(i=1,2,3)\) を求めよ。導出の過程を省略し, 答えのみを示せ。

(2) この命題を証明せよ。

Kai

問1

(1)

\[ \lambda_1 = 1,\lambda_2 = \frac{-1 + \sqrt{4a - 3}}{2},\lambda_3 = \frac{-1 - \sqrt{4a - 3}}{2} \]

(2)

\[ a = 1 \]

(3)

\[ \begin{aligned} &\text{When} \quad a = 1 , \quad v = c\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}, c \text{ is an arbitrary constant.}\\ &\text{When} \quad a \neq 1,\quad v = \begin{bmatrix} 0 \\0 \\0 \end{bmatrix}. \end{aligned} \]

(4)

\[ 0 < a < 1 \]

(5)

\[ x^* = \frac{1}{3 - a}\begin{bmatrix} 1 \\ 1\\ 1-a \end{bmatrix} \]

問2

(1)

There are not linearly independent.

(2)

\[ \left\{ \begin{aligned} &l = 1\\ &m = -1\\ \end{aligned} \right. \]

問3

(1)

\[ \left\{ \begin{aligned} &f_1 = a_2b_3 - a_3b_2\\ &f_2 = a_3b_1 - a_1b_3\\ &f_3 = a_1b_2 - a_2b_1\\ \end{aligned} \right. \]

(2)

Let point \((x_0,y_0)\) be intersection of line 1 and 2 ,then we have

\[ \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -c_1 \\ -c_2 \\ \end{bmatrix} \]

Since three lines intersect at one point,

\[ \begin{aligned} &\quad a_1b_2 - a_2b_1 \neq 0 \\ &\therefore \begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} -c_1 \\ -c_2\\ \end{bmatrix} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1} \begin{bmatrix} b_1c_2 - b_2c_1 \\ a_2c_1 - a_1c_2 \\ \end{bmatrix} \\ &\because \text{Point } (x_0,y_0) \text{ is on line 3.}\\ &\therefore \begin{bmatrix} a_3 & b_3 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \end{bmatrix} = -c_3 \\ &a_3(b_1c_2 - b_2c_1) + b_3(a_2c_1 - a_1c_2) = -c_3(a_1b_2 - a_2b_1) \\ &c_1(a_2b_3 - a_3b_2) + c_2(a_3b_1 - a_1b_3) + c_3(a_1b_2 - a_2b_1) = 0 \\ \end{aligned} \]