東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2023年度 専門基礎科目 1.1 微分積分

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之遥

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問1

関数 \(A(t), B(t), C(t)\) が以下の微分方程式を満たしている。

\[ \begin{aligned} &\frac{\text{d}A(t)}{\text{d}t} = -k_1 A(t) \\ &\frac{\text{d}B(t)}{\text{d}t} = k_1 A(t) - k_2 B(t) \\ &\frac{\text{d}C(t)}{\text{d}t} = k_2 B(t)\\ \end{aligned} \]

初期条件は \(A(0) = A_0, B(0) = 0, C(0) = 0\) である。ただし \(A_0, \ k_1, \ k_2\) は正の定数である。

(1) \(A(t)\) を求めよ。

(2) \(k_1 \neq k_2\) のとき \(B(t)\) と \(C(t)\) を求めよ。

(3) \(k_1 = k_2\) のとき \(B(t)\) と \(C(t)\) を求めよ。

問2

\(xyz\) 直交座標系において成分 \((a, b, c)\) を持つ単位ベクトルを法線ベクトルとし、原点を通る平面 \(P\) を考える。

(1) 平面 \(P\) の式を示せ。

(2) \(3\) 点の座標 \(Q_1 (\sqrt{2}, 0, 0)\), \(Q_2 (0, 1, -1)\), \(Q_3 (1, 1, 1)\) を定義する。 \(Q_i (i=1, 2, 3)\) から平面 \(P\) への距離を \(h_i\) とするとき、\(L = h_1^2 + h_2^2 + h_3^2\) とする。\(L\) の式を示せ。

(3) \(L\) を最小とする平面 \(P\) の式と \(L\) の値を求めよ。

問3

\(xy\) 直交座標系で三つの曲線 \(y = \frac{1}{x^2 + 1}\), \(y = \frac{1}{2}x^2\), 及び \(x = 0\) で囲まれる \(x \geq 0\) の領域 \(W\) を \(y\) 軸の回りで \(1\) 回転してできる立体の体積を求めよ。

問4

\(xyz\) 直交座標系において点 \((x, y, z) = (\cos\theta, \sin\theta, \theta)\) の \(0 \leq \theta \leq 2\pi\) の区間の軌跡の長さを求めよ。

Kai

問1

(1)

\[ A(t) = A_{0}e^{-k_{1}t} \]

(2)

\[ \begin{aligned} &B(t) = \frac{A_0k_1}{k_2 - k_1}(e^{-k_1 t} - e^{-k_2 t}) \\ &C(t) = \frac{A_0}{k_2 - k_1}(-k_2 e^{-k_1 t} + k_1 e^{-k_2 t} + k_2 - k_1) \end{aligned} \]

(3)

\[ \begin{aligned} &B(t) = A_0k_1t e^{-k_1 t} \\ &C(t) = A_0(-e^{-k_1 t} - k_1t e^{-k_1 t} + 1) \end{aligned} \]

問2

(1)

\[ ax + by + cz = 0 \]

(2)

\[ L = 2a^2 + (b - c)^2 + (a + b + c)^2 \]

(3)

\[ \text{When} \quad a = -\frac{1}{\sqrt{3}},b=c=\frac{1}{\sqrt{3}},\quad \text{P:}\quad -x + y + z = 0, \quad L_{\min} = 1 \]

問3

\[ \pi(\ln 2 - \frac{1}{4}) \]

問4

\[ 2\sqrt{2}\pi \]