東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2022年度 専門基礎科目 2.1 線形代数
Author
之遥
Description
以下の問に答えよ。
問1
実正方行列 \(A\) を
\[
A = \begin{pmatrix}
\alpha & \beta \\
1 - \alpha & 1 - \beta \\
\end{pmatrix}
\]
とする。ただし \(0 < \alpha < 1 ,0 < \beta < 1\) とする。このとき, 以下の問に答えよ。導出の過程を省略し, 答えのみを示せ。
(1) 行列 \(A\) の固有値 \(\lambda_1,\lambda_2\) を求めよ。ただし, \(\lambda_1 < \lambda_2\) とする。
(2) 行列 \(A\) の固有ベクトル \(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\) を求めよ。ただし, 固有値 \(\lambda_1,\lambda_2\) に対応する固有ベクトルをそれぞれ \(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\) とする。
(3) 正の整数 \(n\) に対して, \(\lim_{n \rightarrow \infty} A^n\) を求めよ。
問2
\(n \times n\)実対称行列 \(B\) の固有値を \(\mu_1,\mu_2,\dots,\mu_n(\mu_1 < \mu_2 < \cdots < \mu_n)\) とし, 対応する固有ベクトルをそれぞれ \(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_n\) とする。このとき, 以下の問に答えよ。
(1) \(\mathbf{x} \neq 0\) の制約のもとでの \(\frac{\mathbf{x}^{\mathrm{T}}B\mathbf{x}}{\mathbf{x}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}}\) の最小値を求めよ。答えに加えて, 導出の過程を示せ。
(2) \(\mathbf{x} \neq 0,\mathbf{x}^{\mathrm{T}}\mathbf{v}_i = 0(i = 1,2,\dots,m,1 \le m < n)\) の制約のもとでの \(\frac{\mathbf{x}^{\mathrm{T}}B\mathbf{x}}{\mathbf{x}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}}\) の最小値を求めよ。導出の過程を省略し, 答えのみ示せ。
ただし, \(n,m\) は正の整数, \(\mathbf{x}\)は \(n\) 次元実ベクトル, \(\mathrm{T}\) は転置とする。
問3
実正方行列 \(C\) を
\[
C =
\begin{pmatrix}
c_{11} & c_{12} & c_{13} \\
c_{21} & c_{22} & c_{23} \\
c_{31} & c_{32} & c_{33} \\
\end{pmatrix}
\]
とする。行列 \(C\) の固有値を \(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3 \ (\gamma_1 < \gamma_2 < \gamma_3)\) とする。このとき, 以下の問に答えよ。
(1) 以下を \(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3\) を用いて示せ。導出の過程を省略し, 答えのみ示せ。
\[
\sum_{1 \le i < j \le 3}(c_{ii}c_{jj} - c_{ij}c_{ji})
\]
(2) 以下が成立することを示せ。ただし, \(e\) は自然対数の底, \(k!=k \cdot (k-1) \cdots 2 \cdot 1\) は \(k\) の階乗, \(\det\) は行列式とする。導出の過程を示せ。
\[
\det \bigg(\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!}C^{k}\bigg) = e^{\gamma_1 + \gamma_2 + \gamma_3}
\]
Kai
問1
(1)
\[
\lambda_1 = \alpha - \beta ,\lambda_2 = 1
\]
(2)
\[
x_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1\end{bmatrix} ,\quad x_2 = \begin{bmatrix} \beta \\ 1 - \alpha\end{bmatrix}
\]
(3)
\[
\lim_{n \rightarrow \infty}A^{n} = \frac{1}{1 - \alpha + \beta}
\begin{bmatrix}
\beta & \beta \\
1 - \alpha & 1 - \alpha \\
\end{bmatrix}
\]
問2
(1)
\[
\text{B is symmetric ,then }v_i \text{ is perpendicular to } v_j \text{ for } i \neq j,\quad i,j=1,2,\cdots,n
\]
\[
\text{Let } q_i = \frac{v_i}{||v_i||}, \text{ then } Q = [q_1 \cdots q_n] \text{ is a orthogonal matrix.}
\]
\[
\frac{x^{\mathrm{T}}Bx}{x^{\mathrm{T}}x} = \frac{x^\mathrm{T}Q\Lambda Q^{\mathrm{T}}x}{x^{\mathrm{T}}QQ^{\mathrm{T}}x} = \frac{(x^{\mathrm{T}}Q)\Lambda(Q^{\mathrm{T}}x)}{(x^{\mathrm{T}}Q)(Q^{\mathrm{T}}x)}
\]
\[
\text{Let }Q^{\mathrm{T}}x = c =
\begin{bmatrix}
c_1 \\ \vdots \\ c_n
\end{bmatrix} ,\text{then } x^{\mathrm{T}}Q = c^{\mathrm{T}} = [c_1 \cdots c_n]
\]
\[
\frac{x^\mathrm{T}Bx}{x^\mathrm{T}x} = \frac{c^{\mathrm{T}}\Lambda c}{c^{\mathrm{T}}c} = \frac{c_1 ^2 \mu_1 + \cdots c_{n}^2\mu_n}{c_1 ^2 + \cdots + c_{n}^2} \ge \frac{c_1^2\mu_1 + \cdots + c_{n}^2\mu_1}{c_1 ^2 + \cdots + c_{n}^2} = \frac{\mu_1(c_1 ^2 + \cdots + c_{n}^2)}{c_1 ^2 + \cdots + c_n^2} = \mu_1
\]
\[
\text{The minimum }\mu_1 \text{ is obtained when } c_1 = 1,c_2=c_3=\cdots=c_n=0.
\]
(2)
\[
x^{\mathrm{T}}v_i = 0,\text{ then }x^{\mathrm{T}}q_i = 0
\]
\[
\begin{aligned}
\frac{x^{\mathrm{T}}Bx}{x^{\mathrm{T}}x} &= \frac{(x^{\mathrm{T}}Q)\Lambda(Q^{\mathrm{T}}x)}{(x^{\mathrm{T}}Q)(Q^{\mathrm{T}}x)} = \frac{c_{m+1}^2\mu_{m+1} + \cdots +c_{n}^2\mu_n}{c_{m+1}^2 + \cdots + c_n^2} \ge \frac{c_{m+1}^2\mu_{m+1} + \cdots + c_n^2\mu_1}{c_{m+1}^2 + \cdots + c_n^2} \\
&= \frac{\mu_{m+1}(c_{m+1}^2 + \cdots + c_{n}^2)}{c_{m+1}^2 + \cdots + c_n^2} = \mu_{m+1}
\end{aligned}
\]
\[
\text{The minimum }\mu_{m+1} \text{ is obtained when }c_{m+1}=1,c_{m+2}=c_{m+3}=\cdots=c_{n} = 0
\]
問3
(1)
\[
\gamma_1\gamma_2 + \gamma_2\gamma_3 + \gamma_1\gamma_3
\]
(2)
\[
\begin{aligned}
&\det\bigg(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}C^k\bigg) = \det\bigg(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}(X\Lambda X^{-1})^k\bigg) = \det\bigg(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}X\Lambda ^k X^{-1}\bigg) \\
&= \det(X) \det\bigg(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\Lambda^k\bigg)\det(X^{-1}) = \det\bigg(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\Lambda^k\bigg) \\
&=
\begin{vmatrix}
e^{\gamma_1} & & \\
& e^{\gamma_2} & \\
& & e^{\gamma_3} \\
\end{vmatrix} = e^{\gamma_1 + \gamma_2 + \gamma_3}
\end{aligned}
\]