東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2022年度 専門基礎科目 1.1 微分積分
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以下の問に答えよ。すべての定数と変数は実数、関数は実関数とする。導出の過程を省略し、答えのみ示せ。
問1
関数 \(y(x)\) が満たす次の微分方程式を考える。
\[
\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + 3\frac{\text{d}y}{\text{d}x} + 2y = f(x)
\]
(1) \(f(x) = 0\) のときの解を求めよ。任意定数として \(C_1,C_2\) を用いること。
(2) \(f(x) = e^{2x}\) のときの解を求めよ。\(e\) は自然対数の底である。
問2
関数 \(y(x)\) が満たす次の微分方程式を考える。
\[
\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{x + y - 1}{x + y + 1}
\]
(1) \(x + y = u\) と変数変換するとき, \(x\) と \(u\) が満たす, \(y\) を含まない微分方程式を求めよ。
(2) 微分方程式を解いて, \(x = f(u)\) を満たす関数 \(f(u)\) を求めよ。任意定数として \(C\) を用いること。
問3
次の不定積分を求め, 空欄に入る式を書け。\(a\) は \(0\) でない定数である。
\[
\int e^{x}\sin ax \text{d}x = \boxed{\text{ 空欄 }} (\sin ax - a\cos ax)
\]
問4
\(xy\) 直交座標系上の以下の方程式によって表される楕円を考える。\(a,b\) は \(0\) でない正の定数である。
\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
\]
(1) この楕円の接線の方程式を求めよ。ただし接点の座標を変数 \(\theta\) を用いて \((a\cos\theta,b\sin\theta)\) とおく。
(2) この接線が \(x\) 軸, \(y\) 軸と交わる点をそれぞれ \(A,B\) とする。線分 \(AB\) の長さの最小値を求めよ。
問5
問 \(4\) の楕円で囲まれた領域 \(D\) における以下の重積分を考える。
\[
\iint_{D} (x^2 + y^2) \text{d}x\text{d}y
\]
(1) 変数 \(r,\theta\) を用いて以下の変数変換を行うときのヤコビアンを求めよ。
\[
x = ar\cos\theta ,\quad y = br \sin\theta
\]
(2) 上の重積分を計算せよ。
Kai
問1
(1)
\[
y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}
\]
(2)
\[
y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} + \frac{1}{12} e^{2x}
\]
問2
(1)
\[
\frac{\text{d}u}{\text{d}x} = \frac{2u}{u + 1}
\]
(2)
\[
x = \frac{1}{2}(u + \ln|u| + C)
\]
問3
\[
\frac{1}{a^2 + 1}e^{x}
\]
問4
(1)
\[
\frac{x\cos\theta}{a} + \frac{y\sin\theta}{b} = 1
\]
(2)
\[
a + b
\]
問5
(1)
\[
J = abr
\]
(2)
\[
\frac{\pi ab}{4}(a^2 + b^2)
\]