東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2020年度 専門基礎科目 第4問
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Kai
（問1）
与えられた条件より、
\[
\begin{aligned}
0 = \alpha \mu + \beta
, \ \ \ \
1 = \alpha^2 \sigma^2
\end{aligned}
\]
であるから、
\(\alpha \gt 0\) とすると、
\[
\begin{aligned}
\alpha = \frac{1}{\sigma}
, \ \ \ \
\beta = - \alpha \mu = - \frac{\mu}{\sigma}
\end{aligned}
\]
であり、
\(\alpha \lt 0\) とすると、
\[
\begin{aligned}
\alpha = - \frac{1}{\sigma}
, \ \ \ \
\beta = - \alpha \mu = \frac{\mu}{\sigma}
\end{aligned}
\]
である。
（問2）
まず、 平均 \(\mu\) 、標準偏差 \(\sigma\) の確率変数 \(X\) の モーメント母関数 \(M_X(t)\) は、次のように求められる：
\[
\begin{aligned}
M_X(t)
&= E_X \left[ \exp (tX) \right]
\\
&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty
\exp \left(- \frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2} \right)
\exp \left( tx \right) dx
\\
&= \frac{\exp \left( \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right) }
{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty
\exp \left(- \frac
{\left\{ x - (\mu - \sigma^2 t) \right\}^2 }{2 \sigma^2} \right)
dx
\\
&= \exp \left( \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right)
.
\end{aligned}
\]
そこで、 \(X_1\) と \(X_2\) が独立であることを考慮して、
\[
\begin{aligned}
M_{aX_1+bX_2}(t)
&=
E_{X_1} \left[ \exp (taX_1) \right]
E_{X_2} \left[ \exp (tbX_2) \right]
\\
&=
\exp \left( \mu_1 ta + \frac{\sigma_1^2 t^2 a^2}{2} \right)
\exp \left( \mu_2 tb + \frac{\sigma_2^2 t^2 b^2}{2} \right)
\\
&=
\exp \left( \frac{a^2 \sigma_1^2 + b^2 \sigma_2^2 }{2} t^2
+ (a \mu_1 + b \mu_2 ) t \right)
\end{aligned}
\]
であるから、
\[
\begin{aligned}
A = \frac{a^2 \sigma_1^2 + b^2 \sigma_2^2 }{2}
, \ \ \ \
B = a \mu_1 + b \mu_2
, \ \ \ \
C = 0
\end{aligned}
\]
を得る。
（問3）
通学路1 \(\sim N(65, 45)\)
\[
\Pr \big(\frac{t-65}{\sqrt{45}} \ge \frac{75-65}{\sqrt{45}} \big) = \Pr (X_0 \ge 1.51)
\]
\[
\begin{aligned}
&\because \ 1.44 \le 1.51 \le 1.65 \\
&\therefore 5.0\% \le \Pr (X_0 \ge 1.51) \le 7.5\%
\end{aligned}
\]
（問4）
8:39
（問5）
通学路1 \(P_1\) \(\sim N(65, 45)\) と 通学路2 \(P_2\) \(\sim N(55, 144)\) より
\[
\Delta T = P_1 - P_2 \sim N(10, 189)
\]
であるから、
\[
\begin{aligned}
&\Pr (\Delta T > 25) = \Pr \big(\frac{\Delta T-10}{\sqrt{189}} > \frac{15}{\sqrt{189}} \big) \\
&\because \ \ \ \ \ \ 1 < \frac{15}{\sqrt{189}} < 1.28 \\
&\therefore \ \ \ \ \ \ 10\% < \Pr(\Delta T > 25) < 16\%
\end{aligned}
\]
を得る。