東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2019年度 専門基礎科目 第8問
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Kai
（問1）
\[
\begin{aligned}
\hat{x}
&=
\sqrt{\frac{\hbar}{2 m \omega}}
\left( \hat{a}^\dagger + \hat{a} \right)
\\
\hat{p}
&=
i \sqrt{\frac{\hbar m \omega}{2}}
\left( \hat{a}^\dagger - \hat{a} \right)
\end{aligned}
\]
（問2）
(1)
\(\hat{a} | 0 \rangle = 0\) より \(\langle 0 | \hat{a}^\dagger = 0\) であることに注意して、
\[
\begin{aligned}
\langle \hat{x} \rangle
&=
\sqrt{\frac{\hbar}{2 m \omega}}
\langle 0 | \left( \hat{a}^\dagger + \hat{a} \right) | 0 \rangle
\\
&=
0
\\
\langle \hat{x}^2 \rangle
&=
\frac{\hbar}{2 m \omega}
\langle 0 | \left(
\left( \hat{a}^\dagger \right)^2 + \left( \hat{a} \right)^2 +
\hat{a}^\dagger \hat{a} + \hat{a} \hat{a}^\dagger
\right) | 0 \rangle
\\
&=
\frac{\hbar}{2 m \omega}
\langle 0 | \left(
\left( \hat{a}^\dagger \right)^2 + \left( \hat{a} \right)^2 +
2 \hat{a}^\dagger \hat{a} + 1
\right) | 0 \rangle
\\
&=
\frac{\hbar}{2 m \omega}
\\
\langle \hat{p} \rangle
&=
i \sqrt{\frac{\hbar m \omega}{2}}
\langle 0 | \left( \hat{a}^\dagger - \hat{a} \right) | 0 \rangle
\\
&=
0
\\
\langle \hat{p}^2 \rangle
&=
- \frac{\hbar m \omega}{2}
\langle 0 | \left(
\left( \hat{a}^\dagger \right)^2 + \left( \hat{a} \right)^2 -
\hat{a}^\dagger \hat{a} - \hat{a} \hat{a}^\dagger
\right) | 0 \rangle
\\
&=
- \frac{\hbar m \omega}{2}
\langle 0 | \left(
\left( \hat{a}^\dagger \right)^2 + \left( \hat{a} \right)^2 -
2 \hat{a}^\dagger \hat{a} - 1
\right) | 0 \rangle
\\
&=
\frac{\hbar m \omega}{2}
\end{aligned}
\]
を得る。（ \(\langle 0 | 0 \rangle = 1\) を仮定した。）
(2)
\[
\begin{aligned}
\Delta A
&=
\sqrt{ \langle ( \hat{A} - \langle \hat{A} \rangle )^2 \rangle }
\\
&=
\sqrt{ \langle \hat{A}^2 \rangle - \langle \hat{A} \rangle^2 }
\end{aligned}
\]
であるから、 (1) より、
\[
\begin{aligned}
\Delta x \Delta p
&=
\sqrt{ \frac{\hbar}{2 m \omega} } \cdot
\sqrt{ \frac{\hbar m \omega}{2} }
\\
&=
\frac{\hbar}{2}
\end{aligned}
\]
を得る。
（問3）
\[
\begin{aligned}
\hat{H}
=
\hbar \omega \left( \hat{n} + \frac{1}{2} \right)
\end{aligned}
\]
（問4）
\[
\begin{aligned}
\left[ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right]
&=
1
\\
\left[ \hat{a}, \left( \hat{a}^\dagger \right)^2 \right]
&=
\hat{a}^\dagger \left[ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right] +
\left[ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right] \hat{a}^\dagger
\\
&=
2 \hat{a}^\dagger
\\
\left[ \hat{a}, \left( \hat{a}^\dagger \right)^3 \right]
&=
\hat{a}^\dagger
\left[ \hat{a}, \left( \hat{a}^\dagger \right)^2 \right] +
\left[ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right]
\left( \hat{a}^\dagger \right)^2
\\
&=
3 \left( \hat{a}^\dagger \right)^2
\\
\left[ \hat{a}, \left( \hat{a}^\dagger \right)^4 \right]
&=
\hat{a}^\dagger
\left[ \hat{a}, \left( \hat{a}^\dagger \right)^3 \right] +
\left[ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right]
\left( \hat{a}^\dagger \right)^3
\\
&=
4 \left( \hat{a}^\dagger \right)^3
\end{aligned}
\]
であるから、
\[
\begin{aligned}
\left[ \hat{a}, \left( \hat{a}^\dagger \right)^n \right]
&=
n \left( \hat{a}^\dagger \right)^{n-1}
\end{aligned}
\]
である。
（問5）
\[
\begin{aligned}
\hat{n} | n \rangle
&=
\frac{1}{\sqrt{n!}} \hat{a}^\dagger \hat{a}
\left( \hat{a}^\dagger \right)^n | 0 \rangle
\\
&=
\frac{1}{\sqrt{n!}} \hat{a}^\dagger
\left\{
\left( \hat{a}^\dagger \right)^n \hat{a}
+ n \left( \hat{a}^\dagger \right)^{n-1}
\right\} | 0 \rangle
\\
&=
n | n \rangle
\end{aligned}
\]
であるから、 \(| n \rangle\) は \(\hat{n}\) の固有値 \(n\) に属する固有状態である。 また、 \(| n \rangle\) は \(\hat{H}\) の固有値
\[
\begin{aligned}
\hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right)
\end{aligned}
\]
に属する固有状態である。
（問6）
(1)
\[
\begin{aligned}
\hat{a} | \alpha \rangle
&=
e^{ - \frac{|\alpha|^2}{2} } \sum_{n=0}^\infty
\frac{\alpha^n}{n!} \hat{a} \left( \hat{a}^\dagger \right)^n
| 0 \rangle
\\
&=
e^{ - \frac{|\alpha|^2}{2} } \sum_{n=1}^\infty
\frac{\alpha^n}{n!} \hat{a} \left( \hat{a}^\dagger \right)^n
| 0 \rangle
\ \ \ \ \ \ \ \
( \because \hat{a} | 0 \rangle = 0 )
\\
&=
e^{ - \frac{|\alpha|^2}{2} } \sum_{n=1}^\infty
\frac{\alpha^n}{n!} \hat{a}
\left\{ \left( \hat{a}^\dagger \right)^n \hat{a}
+ n \left( \hat{a}^\dagger \right)^{n-1}
\right\}
| 0 \rangle
\ \ \ \ \ \ \ \
( \because \text{（問4）} )
\\
&=
e^{ - \frac{|\alpha|^2}{2} } \sum_{n=1}^\infty
\frac{\alpha^n}{(n-1)!} \left( \hat{a}^\dagger \right)^{n-1}
| 0 \rangle
\ \ \ \ \ \ \ \
( \because \hat{a} | 0 \rangle = 0 )
\\
&=
\alpha | \alpha \rangle
\end{aligned}
\]
であるから、 \(| \alpha \rangle\) は \(\hat{a}\) の固有値 \(\alpha\) に属する固有状態である。
(2)
\[
\begin{aligned}
\langle \hat{n} \rangle
&=
\langle \alpha | \hat{a}^\dagger \hat{a} | \alpha \rangle
\\
&=
| \alpha |^2
\\
\langle \hat{n}^2 \rangle
&=
\langle \alpha | \hat{a}^\dagger \hat{a} \hat{a}^\dagger \hat{a}
| \alpha \rangle
\\
&=
| \alpha |^2
\langle \alpha | \hat{a} \hat{a}^\dagger | \alpha \rangle
\\
&=
| \alpha |^2
\langle \alpha |
\left( \hat{a}^\dagger \hat{a} + 1 \right)
| \alpha \rangle
\\
&=
| \alpha |^2 \left( | \alpha |^2 + 1 \right)
\\
\therefore \ \ \ \
\Delta n^2
&=
\langle \hat{n}^2 \rangle - \langle \hat{n} \rangle^2
\\
&=
| \alpha |^2 \left( | \alpha |^2 + 1 \right) - | \alpha |^4
\\
&=
| \alpha |^2
\\
\therefore \ \ \ \
\Delta n
&=
| \alpha |
\end{aligned}
\]
（ \(\langle \alpha | \alpha \rangle = 1\) を証明なしに使った。）