東京大学新領域創成科学研究科複雑理工学専攻 2019年度専門基礎科目第4問

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\(k\) と \(n\) を \(2\) 以上の整数とする。確率変数 \(X \in \{1,2,\dots,k\}\) について, 事象 \(X = a\) の確率が

\[ \Pr[X = a] = \left\{ \begin{aligned} &2^{-a},&a = 1,2,\dots,k-1 \\ &2^{-(k-1)}, &a = k \\ \end{aligned} \right. \]

で与えられている。また, \(X_1,X_2,\dots,X_n\) を互いに独立で \(X\) 同じ分布に従う確率変数とする。　\(X_1,X_2,\dots,X_n\) のうちの最小値を \(Y_n = \min\{X_1,X_2,\dots,X_n\}\) とする。以下の問に答えよ。

(問1) \(k = 5\) とする。 \(\Pr[X \ge a]\) を \(a = 1,2,3,4,5\) に対して求めよ。

(問2) \(k = 5\) とする。確率変数 \(Z = 2^{X}\) の期待値と分散を求めよ。

(問3) \(k\) を \(2\) 以上の整数とする。\(\Pr[Y_n \ge a]\) を \(a = 1,2,\dots,k\) に対して求めよ。

(問4) \(k\) を \(2\) 以上の整数とする。\(Y_n\) の期待値を求めよ。

Kai

（問1）

\[ \begin{aligned} \text{Pr}[X=1] &= 2^{-1} = \frac{1}{2} \\ \text{Pr}[X=2] &= 2^{-2} = \frac{1}{4} \\ \text{Pr}[X=3] &= 2^{-3} = \frac{1}{8} \\ \text{Pr}[X=4] &= 2^{-4} = \frac{1}{16} \\ \text{Pr}[X=5] &= 2^{-4} = \frac{1}{16} \end{aligned} \]

であるから、

\[ \begin{aligned} \text{Pr}[X \geq 1] &= 1 \\ \text{Pr}[X \geq 2] &= \frac{1}{2} \\ \text{Pr}[X \geq 3] &= \frac{1}{4} \\ \text{Pr}[X \geq 4] &= \frac{1}{8} \\ \text{Pr}[X \geq 5] &= \frac{1}{16} \end{aligned} \]

（問2）

\[ \begin{aligned} E[Z] &= E \left[ 2^X \right] \\ &= \sum_{a=1}^5 2^a \text{Pr}[X=a] \\ &= 2 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{1}{4} + 8 \cdot \frac{1}{8} + 16 \cdot \frac{1}{16} + 32 \cdot \frac{1}{16} \\ &= 6 \\ E \left[ Z^2 \right] &= E \left[ 2^{2X} \right] \\ &= \sum_{a=1}^5 2^{2a} \text{Pr}[X=a] \\ &= 2^2 \cdot \frac{1}{2} + 2^4 \cdot \frac{1}{4} + 2^6 \cdot \frac{1}{8} + 2^8 \cdot \frac{1}{16} + 2^{10} \cdot \frac{1}{16} \\ &= 94 \\ V[Z] &= E \left[ Z^2 \right] - E[Z]^2 \\ &= 58 \end{aligned} \]

（問3）

まず、

\[ \begin{aligned} \text{Pr} [ Y_n \geq 1 ] &= 1 \end{aligned} \]

であり、また、 \(a = 2,3, \cdots , k\) に対しては、

\[ \begin{aligned} \text{Pr} [ Y_n \geq a ] &= \text{Pr} [ X_1 \geq a \text{ and } X_2 \geq a \text{ and } \cdots \text{ and } X_n \geq a ] \\ &= \text{Pr} [X_1 \geq a] \text{Pr} [X_2 \geq a] \cdots \text{Pr} [X_n \geq a] \\ &= \left( 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \cdots - \frac{1}{2^{a-1}} \right)^n \\ &= \left( \frac{1}{2^{a-1}} \right)^n \\ &= 2^{-(a-1)n} \end{aligned} \]

である。この式は \(a=1\) のときも成り立つ。

（問4）

まず、

\[ \begin{aligned} \text{Pr} [ Y_n = k ] &= \text{Pr} [ Y_n \geq k ] \\ &= 2^{-(k-1)n} \end{aligned} \]

であり、また、 \(a = 1,2, \cdots , k-1\) に対しては、

\[ \begin{aligned} \text{Pr} [ Y_n = a ] &= \text{Pr} [ Y_n \geq a ] - \text{Pr} [ Y_n \geq a+1 ] \\ &= 2^{-(a-1)n} - 2^{-an} \\ &= \frac{2^n - 1}{2^{an}} \end{aligned} \]

である。

よって、求める期待値は、次のようになる：

\[ \begin{aligned} E [ Y_n ] &= \sum_{a=1}^k a \text{Pr} [ Y_n = a ] \\ &= (2^n-1) \sum_{a=1}^{k-1} \frac{a}{2^{an}} + \frac{k}{2^{(k-1)n}} \\ &= (2^n-1) S + \frac{k}{2^{(k-1)n}} \end{aligned} \]

ここで、

\[ \begin{aligned} S &= \sum_{a=1}^{k-1} \frac{a}{2^{an}} \\ &= \frac{1}{2^n} + \frac{2}{2^{2n}} + \frac{3}{2^{3n}} + \cdots + \frac{k-1}{2^{(k-1)n}} \end{aligned} \]

とおいた。

\[ \begin{aligned} 2^n S &= 1 + \frac{2}{2^{n}} + \frac{3}{2^{2n}} + \cdots + \frac{k-1}{2^{(k-2)n}} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} (2^n-1) S &= 1 + \frac{1}{2^{n}} + \frac{1}{2^{2n}} + \cdots + \frac{1}{2^{(k-2)n}} - \frac{k-1}{2^{(k-1)n}} \\ &= \frac{1 - \frac{1}{2^{(k-1)n}}}{1 - \frac{1}{2^n}} - \frac{k-1}{2^{(k-1)n}} \end{aligned} \]