東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2019年度 専門基礎科目 第2問
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整数 \(n \ge 1\) に対して, 三項間漸化式
\[
x_{n+2} = x_{n+1} + x_n,x_1 = 1,x_2 = 1
\]
を考える。以下の問に答えよ。
(問1) \(\begin{pmatrix}x_{n+1} \\ x_{n+2}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix} x_n \\ x_{n+1} \\ \end{pmatrix}\) を満たす \(2 \times 2\) 実行列 \(A\) を求めよ。
(問2) 行列 \(A\) の固有値 \(\lambda_{+},\lambda_{-}(\lambda_{+} > \lambda_{-})\) を求めよ。
(問3) 行列 \(A\) の対角化を用いて,
\[
A^n = \frac{1}{\sqrt{5}}
\begin{pmatrix}
\lambda_{+}^{n-1} - \lambda_{-}^{n-1} & \lambda_{+}^n - \lambda_{-}^n \\
\lambda_{+}^n - \lambda_{-}^n & \lambda_{+}^{n+1} - \lambda_{-}^{n+1} \\
\end{pmatrix} \qquad \qquad (1)
\]
を示せ。
以下の問では, 式 (1) を用いてよい。
(問4) \(x_n = \alpha\lambda_{+}^n + \beta\lambda_{-}^n\) を満たす実数 \(\alpha,\beta\) を求めよ。
(問5) 実数 \(a,b\) に対して三項間漸化式
\[
y_{n+2} = y_{n+1} + y_{n},y_1 = a,y_2 = b
\]
を考える。 \(y_{n}(n\ge3)\) を \(a,b,x_{n-1},x_{n-2}\) を用いて表せ。
(問6) \(D_1 = 1,D_{n}(n \ge 2)\) を \(n \times n\) 三重対角行列 \(B_n\) の行列式とする。
\[
B_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \\\end{pmatrix} ,
B_n =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
-1 & 1 & 1 & \ddots & & \vdots \\
0 & -1 & 1 & \ddots & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
\vdots & & \ddots & \ddots & 1 & 1 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & -1 & 1
\end{pmatrix}(n \ge 3)
\]
のとき, \(D_n(n \ge 3)\) を \(x_{n-1}\) および \(x_{n-2}\) を用いて表せ。
Kai
(問1)
\[
\begin{bmatrix} x_{n+1} \\ x_{n+2} \\ \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x_n \\ x_n \\ \end{bmatrix}
\]
(問2)
\[
\begin{aligned}
&\det(A - \lambda I) = 0 \\
&\lambda^2 - \lambda - 1 = 0 \\
&\lambda_{-} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2},\lambda_{+} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}
\end{aligned}
\]
(問3)
\[
\begin{aligned}
&x_{-} = \begin{bmatrix} \lambda_{-} - 1 \\ 1 \end{bmatrix},
x_{+} = \begin{bmatrix} \lambda_{+} - 1 \\ 1 \end{bmatrix} \\
&X = \begin{bmatrix}\lambda_{-}-1 & \lambda_{+} - 1 \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix},
\Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_{-} & \\ & \lambda_{+} \\ \end{bmatrix} \\
&A^n = (X\Lambda X^{-1})^n = X\Lambda^nX^{-1} = \frac{1}{\sqrt{5}}
\begin{bmatrix}
\lambda_{+}^{n-1} - \lambda_{-}^{n-1} & \lambda_{+}^n - \lambda_{-}^n \\
\lambda_{+}^n - \lambda_{-}^n & \lambda_{+}^{n+1} - \lambda_{-}^{n+1} \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
(問4)
\[
\left\{
\begin{aligned}
&x_1 = 1 = \alpha\lambda_{+} + \beta\lambda_{-} \\
&x_2 = 1 = \alpha\lambda_{+}^2 + \beta\lambda_{-}^2 \\
\end{aligned}
\right.,
\left\{
\begin{aligned}
&\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} \\
&\beta = -\frac{1}{\sqrt{5}} \\
\end{aligned}
\right.
\]
(問5)
From (問4) ,
\[
x_n = \frac{\lambda_{+}^n - \lambda_{-}^n}{\sqrt{5}},
x_{n-1} = \frac{\lambda_{+}^{n-1} - \lambda_{-}^{n-1}}{\sqrt{5}},
x_{n-2} = \frac{\lambda_{+}^{n-2} - \lambda_{-}^{n-2}}{\sqrt{5}}
\]
\[
\begin{aligned}
&\begin{bmatrix} y_{n+1} \\ y_{n+2} \\ \end{bmatrix} =
A^n\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \end{bmatrix} =
\frac{1}{\sqrt{5}}
\begin{bmatrix}
\lambda_{+}^{n-1} - \lambda_{-}^{n-1} & \lambda_{+}^n - \lambda_{-}^n \\
\lambda_{+}^n - \lambda_{-}^n & \lambda_{+}^{n+1} - \lambda_{-}^{n+1} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} a \\ b \\ \end{bmatrix} \\
&y_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}}[a(\lambda_{+}^{n-2} - \lambda_{-}^{n-2}) + b(\lambda_{+}^{n-1} - \lambda_{-}^{n-1})] \\
&\quad = a \frac{\lambda_{+}^{n-2} - \lambda_{-}^{n-2}}{\sqrt{5}} + b\frac{\lambda_{+}^{n-1} - \lambda_{-}^{n-1}}{\sqrt{5}} = ax_{n-2} + bx_{n-1}
\end{aligned}
\]
(問6)
\[
\begin{aligned}
D_{n} &=
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
-1 & 1 & 1 & \ddots & & \vdots \\
0 & -1 & 1 & \ddots & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
\vdots & & \ddots & \ddots & 1 & 1 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & -1 & 1
\end{vmatrix}_{n \times n} \\
&= 1 \cdot
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
-1 & 1 & 1 & \ddots & & \vdots \\
0 & -1 & 1 & \ddots & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
\vdots & & \ddots & \ddots & 1 & 1 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & -1 & 1
\end{vmatrix}_{(n-1) \times (n-1)}
+ 1 \cdot
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
-1 & 1 & 1 & \ddots & & \vdots \\
0 & -1 & 1 & \ddots & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
\vdots & & \ddots & \ddots & 1 & 1 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & -1 & 1
\end{vmatrix}_{(n-1) \times (n-1)} \\
&= \begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
-1 & 1 & 1 & \ddots & & \vdots \\
0 & -1 & 1 & \ddots & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
\vdots & & \ddots & \ddots & 1 & 1 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & -1 & 1
\end{vmatrix}_{(n-1) \times (n-1)} +
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
-1 & 1 & 1 & \ddots & & \vdots \\
0 & -1 & 1 & \ddots & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
\vdots & & \ddots & \ddots & 1 & 1 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & -1 & 1
\end{vmatrix}_{(n-2) \times (n-2)} \\
&= D_{n-1} + D_{n-2}
\end{aligned}
\]
From (問5) , \(a = D_1 = 1, b = D_2 = 2\)
Then \(D_{n} = y_n = ax_{n-2} + bx_{n-1} = x_{n-2} + 2x_{n-1}\)