東京大学新領域創成科学研究科複雑理工学専攻 2018年度専門基礎科目第2問

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実数の集合および非負実数の集合をそれぞれ \(\mathbb{R} = (-\infty,\infty) ,\mathbb{R}_{+} = [0,\infty)\) をする。次の \(3\) 次元ベクトル \(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_3,\boldsymbol{a}_4 \in \mathbb{R}^3\) および \(3 \times 4\) 行列 \(\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{3 \times 4}\) を考える。

\[ \boldsymbol{A} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_3,\boldsymbol{a}_4) = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 4 & 2\\ 3 & 0 & 5 & 1\\ 1 & 4 & 0 & 3\\ \end{pmatrix} \]

\(4\) 次元ベクトルを \(\boldsymbol{x} = (x_1,x_2,x_3,x_4)^{\mathrm{T}} \in \mathbb{R}\) で表す。ここで, \(\mathrm{T}\) はベクトルの転置を表す。さらに, 集合 \(P\) を

\[ P = \{\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}_{+}^4 :x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 1\} \]

と定義する。このとき, 以下の問に答えよ。

(問1) 集合 \(S \subset \mathbb{R}^3\) を \(x_1 + x_3 = 1\) かつ \(x_2 + x_4 = 1\) を満たす \(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^4\) に対して点 \(\boldsymbol{Ax}\) がなす集合とする, すなわち

\[ S = \{\boldsymbol{Ax :x} \in \mathbb{R}^4,x_1 + x_3 = 1,x_2 + x_4 = 1\} \]

とする。\(S\) と直交する単位ベクトル \(\boldsymbol{c} \in \mathbb{R}^3\) を求めよ。

(問2) \(x_4 = 0\) かつ \(\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{a}_4\) を満たす \(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}\) を求めよ。

(問3) \(\boldsymbol{x} \in P\) のうち次の \(2\) つの条件を同時に満たすものを \(1\) つ挙げよ。ここで, (問 2) の結果を用いてもよい。

(a) \(x_4\) = 0
(b) \(\boldsymbol{ya}_4 \le \boldsymbol{yAx}\) が任意の \(\boldsymbol{y} = (y_1,y_2,y_3) \in \mathbb{R}_{+}^3\) に対して成り立つ

(問4) 任意の固定した \(\boldsymbol{x}' \in P\) に対して, 次の \(2\) つの条件を同時に満たす \(\boldsymbol{x} \in P\) が存在することを示せ。ここで, (問 3) の結果を用いてもよい。

(a) \(x_4\) = 0
(b) \(\boldsymbol{yAx}' \le \boldsymbol{yAx}\) が任意の \(\boldsymbol{y} = (y_1,y_2,y_3) \in \mathbb{R}_{+}^3\) に対して成り立つ

Kai

(問1)

\[ Ax = \begin{bmatrix} 5 & 1 & 4 & 2\\ 3 & 0 & 5 & 1\\ 1 & 4 & 0 & 3\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 1 - x_1 \\ 1 - x_2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 - x_2 + 6 \\ -2x_1 - x_2 + 6 \\ x_1 + x_2 + 3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 6 \\ 3 \\ \end{bmatrix} + x_1 \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \]

\[ \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i & j & k \\ 1 & -2 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ \end{bmatrix} = (-1,-2,-3) \]

\[ c = \frac{1}{\sqrt{15}} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{bmatrix} \]

(問2)

\[ \begin{bmatrix} 5 & 1 & 4 & 2\\ 3 & 0 & 5 & 1\\ 1 & 4 & 0 & 3\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 5 & 1 & 4 \\ 3 & 0 & 5 \\ 1 & 4 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix} = \frac{1}{47} \begin{bmatrix} 9 \\ 33 \\ 4 \\ \end{bmatrix} \]

\[ x = \frac{1}{47} \begin{bmatrix} 9 \\ 33 \\ 4 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \]

(問3)

From (問2) , we have \(a_4 = \begin{bmatrix}a_1 & a_2 & a_3 & a_4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{9}{47}\\\frac{33}{47}\\\frac{4}{47}\\0\\ \end{bmatrix}\), hence

\[ yAx - ya_4 = yA\left(x - \begin{bmatrix}\frac{9}{47}\\\frac{33}{47}\\\frac{4}{47}\\0\\\end{bmatrix}\right) \]

Since \(y \in \mathbb{R}_{+}^3\) and \(A_{ij} \ge 0(i = 1,2,3;j = 1,2,3,4)\), we have \(ya_4 \le yAx\) for any \(y \in \mathbb{R}_{+}^3\) when every element of \(\left(x - \begin{bmatrix}\frac{9}{47}\\\frac{33}{47}\\\frac{4}{47}\\0\\\end{bmatrix}\right)\) is larger than or equal to \(0\).

Therefore,

\[ \left\{ \begin{aligned} &x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = \frac{46}{47} \neq 1 \\ &x_1 \ge \frac{1}{47} \\ &x_2 \ge \frac{33}{47} \\ &x_3 \ge \frac{4}{47} \\ \end{aligned} \right. \]

one solution is

\[ x = \begin{bmatrix}\frac{10}{47}\\\frac{33}{47}\\\frac{4}{47}\\0\\ \end{bmatrix} \]

(問4)

\[ \begin{aligned} yA(x - x') &= y\begin{bmatrix}a_1 & a_2 & a_3 & \frac{9a_1 + 33a_2 + 4a_3}{47}\end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ 0 \\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \\ x_4' \\ \end{bmatrix} \right) \\ &= y\bigg[a_1(x_1 - x_1' - \frac{9}{47}x_4') + a_2(x_2 - x_2' - \frac{33}{47}x_4 ') + a_3(x_3 - x_3' - \frac{4}{47}x_4')\bigg] \end{aligned} \]

Since \(y \in \mathbb{R}_{+}^3\) and every element of \(a_1,a_2\) and \(a_3\) is larger than or equal to \(0\), if every element of \((x_1 - x_1' - \frac{9}{47}x_4'),(x_2 - x_2' - \frac{33}{47}x_4')\) and \((x_3 - x_3' - \frac{4}{47}x_4')\) is larger than or equal to \(0\) , we will obtain that \(yAx' \le yAx\) for any \(y \in \mathbb{R}_{+}^3\).