東京大学 工学系研究科 技術経営戦略学専攻 2022年度 セッション 1
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Kai
I.
1.
\(u=y^{-3}\) とおくと、
\[
\begin{aligned}
\frac{du}{dx}
&= -3 y^{-4} \frac{dy}{dx}
\\
&= -3 y^{-4} \left( x^2 y - e^{-x^3} y^4 \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ (\because \text{(1)})
\\
&= - 3x^2u + 3e^{-x^3}
\end{aligned}
\]
なので、 \(u\) に関する微分方程式
\[
\begin{align}
\frac{du}{dx} &= - 3x^2u + 3e^{-x^3}
\tag{2} \label{2}
\end{align}
\]
を得る。
2.
まず、微分方程式
\[
\begin{aligned}
\frac{du}{dx} &= - 3x^2u
\end{aligned}
\]
は、
\[
\begin{aligned}
\frac{du}{u} &= - 3x^2 dx
\\
\therefore \ \
u &= A e^{-x^3}
\ \ \ \ \ \ \ \ \text{( $A$ は積分定数 )}
\end{aligned}
\]
と一般解が求まる。 そこで、 \(A(x)\) を \(x\) の適当な関数として、 (\(\ref{2}\)) に \(u=A(x)e^{-x^3}\) を代入して整理すると、
\[
\begin{aligned}
\frac{dA(x)}{dx} &= 3
\\
\therefore \ \
A(x) &= 3x + C
\ \ \ \ \ \ \ \ \text{( $C$ は積分定数 )}
\end{aligned}
\]
と求まるので、 (\(\ref{2}\)) の一般解は
\[
\begin{aligned}
u &= (3x + C) e^{-x^3}
\ \ \ \ \ \ \ \ \text{( $C$ は積分定数 )}
\end{aligned}
\]
とわかる。 よって、(1) の一般解は
\[
\begin{aligned}
y &= (3x + C)^{- \frac{1}{3}} e^x
\ \ \ \ \ \ \ \ \text{( $C$ は積分定数 )}
\end{aligned}
\]
とわかる。