東京大学 工学系研究科 2023年度 数学 第2問
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Kai
I.
\(a=1\) のとき
\[
\begin{aligned}
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
であり、\(A\) の固有値を \(\lambda\) とすると、
\[
\begin{aligned}
0
&= \det \begin{pmatrix}
2 - \lambda & 1 & 0 \\ 1 & 3 - \lambda & 1 \\ 0 & 1 & 2 - \lambda
\end{pmatrix}
\\
&= - (\lambda - 1)(\lambda - 2)(\lambda - 4)
\\
\therefore \ \ \lambda &= 1, 2, 4
\end{aligned}
\]
である。よって、
\[
\begin{aligned}
D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
である（固有値の並べ方の不定性はある）。
II.
\(A\) は実対称行列なので、実直交行列 \(P\) があって、
\[
\begin{aligned}
A = P D P^{-1} , \ \ P^{-1} = P^T
\end{aligned}
\]
が成り立つ。そこで、非零三次元実ベクトル \(\boldsymbol{x}\) に対して
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}
= P^{-1} \boldsymbol{x}
\end{aligned}
\]
とおくと、 \(y_1, y_2, y_3\) は実数であり、
\[
\begin{aligned}
y_1^2 + y_2^2 + y_3^2
&= \left( P^{-1} \boldsymbol{x} \right)^T
\left( P^{-1} \boldsymbol{x} \right)
\\
&= \boldsymbol{x}^T P P^{-1} \boldsymbol{x}
\\
&= \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x}
\\
&\gt 0
\end{aligned}
\]
なので \(y_1, y_2, y_3\) の少なくとも1つは \(0\) ではなく、したがって、
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{x}^T A \boldsymbol{x}
&= \boldsymbol{x}^T P D P^{-1} \boldsymbol{x}
\\
&= \left( P^{-1} \boldsymbol{x} \right)^T D
\left( P^{-1} \boldsymbol{x} \right)
\\
&= y_1^2 + 2 y_2^2 + 4 y_3^2
\\
&\gt 0
\end{aligned}
\]
が言える。
III.
\[
\begin{aligned}
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & a \\ 0 & a & 2 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
の固有値を \(\lambda\) とすると、
\[
\begin{aligned}
0
&= \det \begin{pmatrix}
2 - \lambda & 1 & 0 \\ 1 & 3 - \lambda & a \\ 0 & a & 2 - \lambda
\end{pmatrix}
\\
&= - (\lambda - 2)(\lambda^2 - 5 \lambda - a^2 + 5)
\\
\therefore \ \ \lambda &= 2, \frac{5 \pm \sqrt{4a^2+5}}{2}
\end{aligned}
\]
である。求める条件は、これらがすべて正であることであり、
\[
\begin{aligned}
\frac{5 - \sqrt{4a^2+5}}{2} \gt 0
\\
\therefore \ \
- \sqrt{5} \lt a \lt \sqrt{5}
\end{aligned}
\]
である。
IV.
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とすると、
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_1}
&=
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & a \\ 0 & a & 2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & a \\ 0 & a & 2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix} a & 0 & -1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\\
&= 4x_1 + 2x_2 - a
, \\
\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_2}
&= 2x_1 + 6x_2 + 2ax_3
, \\
\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_3}
&= 2ax_2 + 4x_3 + 1
\end{aligned}
\]
である。よって、 \(f(\boldsymbol{x})\) が最小になるのは、\(x_1, x_2, x_3\) が
\[
\begin{aligned}
4x_1 + 2x_2 - a &= 0
, \ \
2x_1 + 6x_2 + 2ax_3 = 0
, \ \
2ax_2 + 4x_3 + 1 = 0
\\
\therefore \ \
x_1 &= \frac{a}{4}, \ \ x_2 = 0, \ \ x_3 = - \frac{1}{4}
\end{aligned}
\]
のときであり、したがって、 \(f(\boldsymbol{x})\) の最小値は
\[
\begin{aligned}
f \left( \begin{pmatrix}
\frac{a}{4} \\ 0 \\ - \frac{1}{4} \end{pmatrix} \right)
= - \frac{a^2 + 1}{8}
\end{aligned}
\]
である。