東京大学 工学系研究科 2023年度 数学 第1問
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Kai
I.
\[
\begin{aligned}
\lim_{x \to 0} \frac{b^x - c^x}{ax}
&= \lim_{x \to 0} \frac{e^{x \log b} - e^{x \log c}}{ax}
\\
&= \lim_{x \to 0}
\frac{\log b \cdot e^{x \log b} - \log c \cdot e^{x \log c}}{a}
\\
&= \frac{\log b - \log c}{a}
\\
&= \frac{1}{a} \log \frac{b}{c}
\end{aligned}
\]
II.
1.
\(x\) の関数 \(f(x)\) を使って、 \(y=f(x)x\) を (2) に代入すると、
\[
\begin{aligned}
\frac{df(x)}{dx} x &= \log x
\\
\therefore \ \
f(x)
&= \int \frac{\log x}{x} dx
\\
&= \int \left( \log x \right)' \log x dx
\\
&= \left( \log x \right)^2 - \int \frac{\log x}{x} dx
\\
\therefore \ \
f(x) &= \frac{1}{2} \left( \log x \right)^2 + C
\ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } )
\end{aligned}
\]
となるので、求める一般解は
\[
\begin{aligned}
y &= \frac{1}{2} x \left( \log x \right)^2 + Cx
\ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } )
\end{aligned}
\]
である。
2.
まず、
\[
\begin{aligned}
\frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} - 2y = 0
\end{aligned}
\]
に \(y=e^{\lambda x}\) （ \(\lambda\) は \(x\) によらない定数） を代入すると、
\[
\begin{aligned}
\lambda^2 - \lambda - 2 &= 0
\\
(\lambda - 2)(\lambda + 1) &= 0
\\
\therefore \ \ \lambda &= 2, -1
\end{aligned}
\]
となるので、この微分方程式の一般解は
\[
\begin{aligned}
y = A e^{2x} + B e^{-x}
\ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } )
\end{aligned}
\]
である。
次に、 (3) に \(y=Cx^2+Dx+E\) （ \(C,D,E\) は \(x\) によらない定数） を代入すると、
\[
\begin{aligned}
C = -1, \ \ D = 0, \ \ E = -1
\end{aligned}
\]
を得るので、
\[
\begin{aligned}
y = -x^2 - 1
\end{aligned}
\]
は (3) の特殊解である。
以上より、 (3) の一般解は
\[
\begin{aligned}
y = A e^{2x} + B e^{-x} -x^2 - 1
\ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } )
\end{aligned}
\]
である。
III.
\[
\begin{aligned}
\frac{a_n}{a_{n+1}}
&= \frac{n!}{n^{n + \frac{1}{2}} e^{-n}}
\cdot \frac{(n+1)^{n + \frac{3}{2}} e^{-n-1}}{(n+1)!}
\\
&= \frac{1}{e} \cdot \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^\frac{1}{2}
\cdot \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n
\\
&\xrightarrow{n \to \infty} 1
\end{aligned}
\]