東京大学 工学系研究科 2022年度 物理学1
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Kai
I.
1.
\[
\begin{aligned}
I_O
&= \int_0^L \frac{m}{L} x^2 dx
\\
&= \frac{m}{L} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^L
\\
&= \frac{1}{3} mL^2
\end{aligned}
\]
2.
\[
\begin{aligned}
I_O \ddot{\theta} &= - mg \frac{L}{2} \sin \theta
\\
\frac{1}{3} mL^2 \ddot{\theta} &= - mg \frac{L}{2} \sin \theta
\\
\therefore \ \
\ddot{\theta} &= - \frac{3g}{2L} \sin \theta
\end{aligned}
\]
3.
エネルギー保存則より、
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2} I_O \dot{\theta}^2 - mg \frac{L}{2} \cos \theta &= 0
\\
\frac{1}{3} mL^2 \dot{\theta}^2 &= mgL \cos \theta
\\
\therefore \ \
\dot{\theta}^2 &= \frac{3g}{L} \cos \theta
\end{aligned}
\]
4.
\(0\)
5.
棒は始点 O から、鉛直上向きに大きさ \(mg\) の力を受ける。
II.
1.
棒と P を合わせた物体を P' とする。 P' の O の周りの慣性モーメントは、
\[
\begin{aligned}
I_O + mx^2
= m \frac{L^2 + 3x^2}{3}
\end{aligned}
\]
であり、 O から P' の重心までの距離は \((L/2+x)/2\) であるから、 \(\theta\) に関する運動方程式は、
\[
\begin{aligned}
m \frac{L^2 + 3x^2}{3} \ddot{\theta} &= - 2mg \frac{L/2 + x}{2} \sin \theta
\\
\ddot{\theta} &= - \frac{3g(L+2x)}{2(L^2+3x^2)} \sin \theta
\end{aligned}
\]
である。 よって、微小振動の振動周期は、
\[
\begin{aligned}
2 \pi \sqrt{ \frac{2(L^2+3x^2)}{3g(L+2x)} }
\end{aligned}
\]
である。
2.
エネルギー保存則より
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2} m \frac{L^2+3x^2}{3} \dot{\theta}^2 &- 2mg \frac{L/2+x}{2} \cos \theta = 0
\\
\therefore \ \
\dot{\theta}^2 &= \frac{L+2x}{L^2+3x^2} \cdot 3g \cos \theta
\end{aligned}
\]
棒を放してから E が最下点に最初に到達するまで、 \(0 \leq \theta \leq \pi/2, \dot{\theta} \leq 0\) なので、
\[
\begin{aligned}
\dot{\theta} &= - \sqrt{\frac{L+2x}{L^2+3x^2}} \sqrt{3g \cos \theta}
\\
\therefore \ \
dt &= - \sqrt{\frac{L^2+3x^2}{L+2x}} \frac{d \theta}{\sqrt{3g \cos \theta}}
\end{aligned}
\]
である。よって、 棒を放してから E が最下点に最初に到達するまでの時間を \(t_1\) とすると、
\[
\begin{aligned}
t_1
&= - \sqrt{\frac{L^2+3x^2}{L+2x}}
\int_{\pi/2}^0 \frac{d \theta}{\sqrt{3g \cos \theta}}
\\
&= \sqrt{\frac{L^2+3x^2}{L+2x}}
\int_0^{\pi/2} \frac{d \theta}{\sqrt{3g \cos \theta}}
\end{aligned}
\]
である。
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{dx} \frac{L^2+3x^2}{L+2x}
&= \frac{2(3x^2+3Lx-L^2)}{(L+2x)^2}
\end{aligned}
\]
からわかるように、 \(0 \lt x \leq L\) において \((L^2+3x^2)/(L+2x)\) したがって \(t_1\) を最小にする \(x\) は、
\[
\begin{aligned}
x = \frac{-3+\sqrt{21}}{2} L
\end{aligned}
\]
である。
III.
1.
衝突直後の棒の O の周りの角速度を \(\omega\) とすると、 衝突前後のエネルギー保存則と角運動量保存則より、
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2}mv^2 &= \frac{1}{2} I_O \omega^2 ,
\\
ymv &= I_O \omega
\end{aligned}
\]
が成り立ち、これらから \(\omega\) を消去して、
\[
\begin{aligned}
y = \frac{L}{\sqrt{3}}
\end{aligned}
\]
を得る。
2.
棒と Q を合わせた物体の O の周りの慣性モーメントは、
\[
\begin{aligned}
I
&= I_O + my^2
\\
&= \frac{m(L^2 + 3y^2)}{3}
\end{aligned}
\]
である。 衝突直後の棒（および Q）の O の周りの角速度を \(\omega\) とする。 衝突前後の角運動量保存則より
\[
\begin{aligned}
ymv_0 = I \omega
\end{aligned}
\]
が成り立ち、衝突直後と E が O が同じ高さに達した時点でのエネルギーが等しいことから
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2} I \omega^2
&= mg \frac{L}{2} + mgy
\\
&= \frac{1}{2} mg(L+2y)
\end{aligned}
\]
が成り立つ。 これらから \(\omega\) を消去して、
\[
\begin{aligned}
v_0
&= \frac{1}{y} \sqrt{\frac{(L+2y)(L^2+3y^2)g}{3}}
\end{aligned}
\]
を得る。