東京大学工学系研究科 2021年度物理学1

Author

Miyake

Description

Kai

I.

1.

衝突直後の B （および A）の速度を \(V\) とすると、運動量保存則より、

\[ \begin{aligned} mv &= (m+M)V \\ \therefore \ \ V &= \frac{m}{m+M} v \end{aligned} \]

である。 \(x\) の速度および加速度をそれぞれ \(\dot{x}, \ddot{x}\) と書く。衝突後の A および B の運動方程式は、

\[ \begin{aligned} (m+M) \ddot{x} = -kx \end{aligned} \]

であるから、角振動数を \(\omega = \sqrt{k/(m+M)}\) として、 \(t=0\) で \(x=0, \dot{x}=V\) であることを考慮して、

\[ \begin{aligned} x(t) &= \frac{V}{\omega} \sin \omega t \\ &= \frac{mv}{\sqrt{(m+M)k}} \sin \left( \sqrt{\frac{k}{m+M}} t \right) \end{aligned} \]

を得る。

2.

求める時刻は \(\pi / \omega = \pi \sqrt{(m+M)/k}\) である。また、このときの速度はエネルギー保存則より \(-V = -mv/(m+M)\) である。

II.

1.

衝突直後の A, B の速度をそれぞれ \(v_A, v_B\) とする。運動量保存則より、

\[ mv = mv_A + mv_B \]

が成り立つ。また、完全弾性衝突なので、エネルギー保存則

\[ \begin{aligned} \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} mv_A^2 + \frac{1}{2} mv_B^2 \end{aligned} \]

が成り立つ。この連立方程式には2通りの解があるが、 \(v_A = v, v_B = 0\) は衝突せずに通り過ぎるということなので、求める解は、

\[ \begin{aligned} v_A &= \frac{m-M}{m+M} v \\ v_B &= \frac{2m}{m+M} v \end{aligned} \]

である。

2.

時刻 \(t\) における A, B の位置をそれぞれ \(x_A(t), x_B(t)\) とする。上の 1. で得た式は \(M=m\) のとき、\(v_A = 0, v_B = v\) となるので、 \(\omega_0 = \sqrt{k/m}, t_0 = \pi / \omega_0 = \pi \sqrt{m/k}\) として、

\[ \begin{aligned} x_A (t) &= \begin{cases} 0 & 0 \leq t \leq t_0 \\ -vt & t_0 \lt t \end{cases} \\ x_B (t) &= \begin{cases} \frac{v}{\omega_0} \sin \omega_0 t & 0 \leq t \leq t_0 \\ 0 & t_0 \lt t \end{cases} \end{aligned} \]

がわかる。

III.

1.

時刻 \(t\) における A, B の位置をそれぞれ \(x_A(t), x_B(t)\) とする。

1回目の衝突直後の A, B の速度をそれぞれ \(v_A, v_B\) とすると、運動量保存則

\[ \begin{aligned} mv = mv_A + 2mv_B \end{aligned} \]

および反発係数が \(e\) であること

\[ \begin{aligned} e = \frac{v_B - v_A}{v} \end{aligned} \]

から、

\[ \begin{aligned} v_A &= \frac{1-2e}{3} v \\ v_B &= \frac{1+e}{3} v \end{aligned} \]

がわかる。

2回目の衝突の時刻を \(t_2 = (7 \sqrt{2} \pi / 6) \sqrt{m/k}\) とする。

時刻 \(0 \lt t \lt t_2\) において、 B の角振動数は \(\omega_2 = \sqrt{k/(2m)}\) であるから、

\[ \begin{aligned} x_A(t) &= v_A t \\ x_B(t) &= \frac{v_B}{\omega_2} \sin \omega_2 t \end{aligned} \]

であり、 \(x_B(t)\) の \(t\) による微分は、

\[ \begin{aligned} \dot{x}_B(t) &= v_B \cos \omega_2 t \end{aligned} \]

である。よって、2回目の衝突の直前の A, B の速度をそれぞれ \(V_A, V_B\) とすると、

\[ \begin{aligned} V_A &= v_A \\ &= \frac{1-2e}{3} v \\ V_B &= \dot{x}_B(t_2) \\ &= v_B \cos \omega_2 t_2 \\ &= - \frac{1+e}{2 \sqrt{3}} v \end{aligned} \]