東京大学 工学系研究科 2021年度 数学1

Author

Miyake

Description

Kai

I.

1.

\[ \begin{aligned} y(x) &= (\arccos x)^{\log x} \\ &= e^{\log x \cdot \log (\arccos x)} \end{aligned} \]

なので、

\[ \begin{aligned} \frac{dy(x)}{dx} &= (\arccos x)^{\log x} \cdot \frac{d}{dx} \left( \log x \cdot \log (\arccos x) \right) \\ &= (\arccos x)^{\log x} \left( \frac{1}{x} \cdot \log (\arccos x) + \log x \cdot \frac{-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{\arccos x} \right) \\ &= (\arccos x)^{\log x} \left( \frac{\log (\arccos x)}{x} - \frac{\log x}{\arccos x \sqrt{1-x^2}} \right) \end{aligned} \]

2.

積分定数を \(C\) で表す。

\(p=0\) のときは、

\[ \begin{aligned} \int \frac{x^2+x+2}{x^3} dx &= \int \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x^3} \right) dx \\ &= \log |x| - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} + C \end{aligned} \]

であり、 \(p \ne 0\) のときは、

\[ \begin{aligned} \int \frac{x^2+x+2}{x^3-px^2} dx &= \int \frac{x^2+x+2}{x^2(x-p)} dx \\ &= \frac{1}{p^2} \int \left( - \frac{p+2}{x} - \frac{2p}{x^2} + \frac{p^2+p-2}{x-p} \right) dx \\ &= \frac{1}{p^2} \left( - (p+2) \log |x| + \frac{2p}{x} + (p^2+p-2) \log |x-p| \right) + C \end{aligned} \]

である。

3.

\(x = \sin \phi \ \ (0 \leq \phi \leq \theta \lt \pi/2)\) とすると、 \(dx = \cos \phi d \phi\) なので、

\[ \begin{aligned} I &= \int_0^{\sin \theta} \frac{\arctan(\arcsin x)}{\sqrt{1-x^2}} dx \\ &= \int_0^\theta \frac{\arctan \phi}{\cos \phi} \cdot \cos \phi d \phi \\ &= \int_0^\theta \arctan \phi d \phi \\ &= \left[ \phi \arctan \phi \right]_0^\theta - \int_0^\theta \frac{\phi}{1+\phi^2} d \phi \\ &= \theta \arctan \theta - \frac{1}{2} \left[ \log \left(1 + \phi^2 \right) \right]_0^\theta \\ &= \theta \arctan \theta - \frac{1}{2} \log \left(1 + \theta^2 \right) \end{aligned} \]

を得る。

II.

1.

\[ \begin{aligned} \frac{df(x)}{dx} &= \frac{dp(x)}{dx} \exp (iax) + iap(x) \exp (iax) \\ &= -ibq(x) \exp (-iax) + iap(x) \exp (iax) \\ &= iaf(x) - ibg(x) \\ \frac{dg(x)}{dx} &= \frac{dq(x)}{dx} \exp (iax) - iaq(x) \exp (-iax) \\ &= -ibp(x) \exp (iax) - iaq(x) \exp (-iax) \\ &= -ibf(x) - iag(x) \end{aligned} \]

2.

複素数 \(A\) の複素共役を \(\bar{A}\) で表す。

\[ \begin{aligned} \frac{d}{dx} \left| f(x) \right|^2 &= \frac{d \overline{f(x)}}{dx} \cdot f(x) + \overline{f(x)} \cdot \frac{df(x)}{dx} \\ &= \left( - ia \overline{f(x)} + ib \overline{g(x)} \right) f(x) + \overline{f(x)} \left( ia f(x) - ib g(x) \right) \\ \frac{d}{dx} \left| g(x) \right|^2 &= \frac{d \overline{g(x)}}{dx} \cdot g(x) + \overline{g(x)} \cdot \frac{dg(x)}{dx} \\ &= \left( ib \overline{f(x)} + ia \overline{g(x)} \right) g(x) + \overline{g(x)} \left( -ib f(x) - ia g(x) \right) \end{aligned} \]

なので、

\[ \begin{aligned} \frac{d}{dx} \left( \left| f(x) \right|^2 + \left| g(x) \right|^2 \right) = 0 \end{aligned} \]

がわかる。つまり、 \(\left| f(x) \right|^2 + \left| g(x) \right|^2\) は \(x\) に依存しない。