東京大学 工学系研究科 2017年度 数学 第3問
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次の問いに答えよ。ただし, \(i\)は虚数単位であり, \(e\)は自然対数の底, \(\log\) は自然対数である。
(I)
次の定積分 \(I\) を考える。
\[
\begin{align}
I = \int_0^{2\pi} \frac{\cos\theta \text{d}\theta}{(2 + \cos\theta)^2}
\end{align}
\]
1.
定積分 \(I\) を複素数 \(z\) を用いて複素関数積分
\[
\begin{align}
\oint_{\mid z \mid = 1}G(z)\text{d}z
\end{align}
\]
の形に書き直したときの複素関数 \(G(z)\) を求めよ。ただし, 積分路は単位円周上を反時計回リに一周するものとする。
2.
全ての極とその極の位数, および留数を求めよ。
3.
積分\(I\)を求めよ。
(II)
実数パラメータ\(\alpha ,\beta\)をもつ実数\(\theta\)の関数
\[
\begin{align}
f(\theta;\alpha,\beta) = 1 + e^{2i\beta} + \alpha e^{i(\theta + \beta)}
\end{align}
\]
に対して以下の定積分\(F(\alpha,\beta)\)を考える。
\[
\begin{align}
F(\alpha ,\beta) = \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \frac{\text{d}}{\text{d}\theta}[\log f(\theta;\alpha,\beta)]
\end{align}
\]
1.
定積分\(F(\alpha,\beta)\)を複素数\(z\)を用いて複素関数積分
\[
\begin{align}
\oint_{\mid z \mid = 1} G(z) \text{d}z
\end{align}
\]
の形に書き直したときの複素関数\(G(z)\)を求めよ。ただし, 積分路は単位円周上を反時計回リに一周するものとする。
2.
全ての極とその極の位数, および留数を求めよ。
3.
パラメータ\(\alpha ,\beta\)を場合分けして, \(F(\alpha,\beta)\)の値を求めよ。ただし, 極が積分路上にある場合は考えなくて良い。
Kai
(I)
1.
\(z = e^{i\theta}\)とおく。
\[
\begin{aligned}
dz &= ie^{i \theta} \Leftrightarrow \text{d} \theta = \frac{\text{d}z}{iz} \\
\cos\theta &= \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} = \frac{1}{2}\big(z + \frac{1}{z}\big)
\end{aligned}
\]
であるから,
\[
\begin{aligned}
I &= \oint_{\mid z \mid = 1} \frac{\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z})}{\big(2 + \frac{1}{2}(z + \frac{1}{z})\big)^2} \frac{\text{d}z}{iz} \\
G(z) &= \frac{1}{2iz^2} \frac{z^2 + 1}{\frac{1}{4}\big(4 + 4z + \frac{1}{z}\big)^2} \\
&= \frac{2}{i} \frac{z^2 + 1}{(z^2 + 4z + 1)^2}
\end{aligned}
\]
2.
\(z^2 + 4z + 1 = 0\)とすると, \(z = -2 \pm \sqrt{3}\)。以下, 式が見づらくなるので, \(\alpha = -2 + \sqrt{3}, \beta =-2 - \sqrt{3}\)と書く。\(G(z)\)は,
\[
G(z) = \frac{2}{i}\frac{z^2 + 1}{(z - \alpha)^2(z - \beta)^2}
\]
となるので, 極は\(z = -2 \pm \sqrt{3}\)の2つで, それぞれ2位。\(z = \alpha\)における留数は,
\[
\begin{aligned}
\text{Res}_{z = \alpha} G(z) &= \lim_{z \rightarrow \alpha} \frac{\text{d}}{\text{d}z}(z - \alpha)^2G(z) \\
&= \frac{2}{i}\lim_{z \rightarrow \alpha} \frac{\text{d}}{\text{d}z} \frac{z^2 + 1}{(z - \beta)^2} \\
&= \frac{2}{i}\lim_{z \rightarrow \alpha} \frac{2z(z - \beta)^2 - (z^2 + 1)(2z - 2\beta)}{(z - \beta)^4} \\
&= \frac{2}{i}\lim_{z \rightarrow \alpha} \frac{-2\beta z^2 + (2\beta ^2 - 2)z + 2\beta}{(z - \beta)^4} \\
&= \frac{2}{i} \frac{-2\beta \alpha ^2 + \alpha(2\beta^2 - 2) + 2\beta}{(\alpha - \beta)^4} \\
&= \frac{4}{i} \frac{-(\alpha - \beta)(1 +\alpha \beta)}{(\alpha - \beta)^4} \\
&= \frac{4}{i} \frac{-2\sqrt{3}(1 + 1)}{(2\sqrt{3})^4} = -\frac{1}{i}\frac{\sqrt{3}}{9}
\end{aligned}
\]
\(z = \beta\)における留数も同様にして計算でき,
\[
\text{Res}_{z = \beta} G(z)= \frac{4}{i} \frac{-(\beta - \alpha)(1 + \beta \alpha)}{(\beta - \alpha)^4} = \frac{1}{i}\frac{\sqrt{3}}{9}
\]
3.
\(z = 1\)内の極は\(z = \alpha\)のみであることに注意して, 留数定理より,
\[
\begin{aligned}
I &= \oint_{\mid z \mid = 1}G(z)\text{d}z \\
&= 2\pi i \text{Res}_{z = \beta} G(z) \\
&= 2\pi i \cdot \big(-\frac{1}{i} \frac{\sqrt{3}}{9}\big) = -\frac{2\sqrt{3}}{9} \pi
\end{aligned}
\]
(II)
1.
\[
\begin{aligned}
\frac{\text{d}}{\text{d}\theta}[\log f(\theta;\alpha ,\beta)] &= \frac{f'(\theta)}{f(\theta)}\\
&= \frac{i \alpha e^{i(\theta + \beta)}}{1 + e^{2i \beta} + \alpha e^{i(\theta + \beta)}} \\
&= \frac{i \alpha e^{i\beta}z}{1 + e^{2i \beta} + \alpha e^{i\beta}z} \quad (z = e^{i \theta}) \\
&= \frac{iz}{z + \frac{e^{i\beta}+e^{-i\beta}}{\alpha}} \\
&= \frac{iz}{z + \frac{2}{\alpha}\cos \beta}
\end{aligned}
\]
であるから,
\[
F(\alpha,\beta) = \oint_{\mid z \mid =1} \frac{\text{d}z}{iz} \frac{iz}{z + \frac{2}{\alpha} \cos \beta} = \oint_{\mid z \mid = 1} \frac{\text{d}z}{z + \frac{2}{\alpha}\cos \beta}
\]
\[
\therefore G(z) = \frac{1}{z + \frac{2}{\alpha}\cos \beta}
\]
2.
\(\alpha = 0\)のとき, 極は存在しない。
\(\alpha \neq 0\)のとき, 極は\(z = -\frac{2}{\alpha}\cos \beta\)の1つで, 1位.
留数は,
\[
\lim_{z \rightarrow -\frac{2}{\alpha} \cos \beta}(z + \frac{2}{\alpha}\cos \beta)G(z) = 1
\]
3.
\(\alpha,\beta\)は実数だから, 極\(z = -\frac{2}{\alpha}\cos \beta\)は実軸上に存在する。この極が, \(z = 1\)の内部にあるときと, 外部にある時で場合分けすれば良い。
(i)
\(\big|-\frac{2}{\alpha}\cos \beta \big| < 1\)かつ\(\alpha \neq 0\)のとき, 極は\(z = 1\)内に存在し, 留数定理より,
\[
F(\alpha,\beta) = 2\pi i \cdot 1 =2\pi i
\]
(ii)
\(\big|-\frac{2}{\alpha}\cos \beta \big| > 1\)または\(\alpha = 0\)のとき, \(z = 1\)内に極は存在しないので,
\[
F(\alpha,\beta) = 0
\]