東京大学 情報理工学研究科 数理情報学 2024年度 第4問
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指数分布 \(\text{Exp}(\lambda)\) とは、 \(\lambda>0\) に対して確率密度関数
\[
p(x)=\lambda\text{exp}(-\lambda x)
\]
で定義される非負実数上の確率分布である。 独立に \(\text{Exp}(\lambda)\) に従う確率変数列 \(X_1,X_2,\dots\) を考える。 以下の設問に答えよ。
(1) \(c>0\) に対して、 \(X_1\geq c\) という条件のもとでの \(X_1-c\) の条件付き確率密度関数を求めよ。
(2) \(Y=\min(X_1,X_2),Z=\max(X_1,X_2)\) とするとき、 \(Y,Z-Y\) それぞれの確率密度関数を求めよ。
(3) \(X_1+\dots+X_n\) の確率密度関数を求めよ。
(4) \(a>0\) に対して、 \(X_1+\dots+X_N\leq a<X_1+\dots+X_{N+1}\) によって定まる確率変数を \(N\) とする。 \(a<X_1\) のときは \(N=0\) とする。 \(N\) に基づく \(\lambda\) の最尤推定量 \(\hat{\lambda}(N)\) 、および \(\hat{\lambda}(N)\) の期待値と分散を求めよ。
Kai
(1)
\[
P(X_1-c>x|X_1\geq c)=\frac{P(X_1> x+c)}{P(X_1\geq c)}=\rm{e}^{-\lambda x} \quad (x\geq 0)
\]
よって、
\[
p_{X_1-c|X_1\geq c}(x)=\frac{\text{d}}{\text{d}x}P(X_1-c\leq x|X_1\geq c)=\lambda\text{exp}(-\lambda x)=p(x)
\]
(2)
\[
P(Y> y)=P(X_1> y,X_2> y)=\rm{e}^{-2\lambda y}
\]
よって、
\[
p_Y(y)=2\lambda\rm{e}^{-2\lambda y}
\]
また、
\[
p_{Y,Z}(y,z)=2p_{X_1}(y)p_{X_2}(z)=2\lambda^2\rm{e}^{-\lambda(y+z)}
\]
であるので、
\[
p_{Z|Y}(z|y)=\frac{p_{Y,Z}(y,z)}{p_Y(y)}=\lambda\rm{e}^{-\lambda(z-y)}
\]
さらに、
\[
p_{Z-Y|Y}(t|y)=p_{Z|Y}(t+y|y)=\lambda\rm{e}^{-\lambda t}
\]
は \(y\) に依存しないため、
\[
p_{Z-Y}(t)=p_{Z-Y|Y}(t|y)=\lambda\rm{e}^{-\lambda t}
\]
が成り立つ。
(3)
モーメント母関数を考える。
\[
M_{X_1}(t)=E(\rm{e}^{tX_1})=\int_0^\infty\lambda\rm{e}^{-(\lambda-t)x}\text{d}x=\frac{\lambda}{\lambda-t} \quad (\lambda>t)
\]
\[
M_{X_1+\dots+X_n}(t)=(M_{X_1}(t))^n=\frac{\lambda^n}{(\lambda-t)^n}
\]
ラプラス変換によって、
\[
p_{X_1+\dots+X_n}(x)=\mathcal{L}^{-1}\{M_{X_1+\dots+X_n}(-t)\}=\frac{\lambda^n x^{n-1}}{(n-1)!}\rm{e}^{-\lambda x}
\]
(4)
\[
P(N=0)=P(X_1>a)=\rm{e}^{-\lambda a}
\]
\[
\begin{aligned}
P(N=k) & = P(X_1+\dots+X_k\leq a)-P(X_1+\dots+X_{k+1}\leq a) \\
& = \int_0^a\frac{\lambda^k x^{k-1}}{(k-1)!}\rm{e}^{-\lambda x}\,\text{d}x - \int_0^a\frac{\lambda^{k+1} x^k}{k!}\rm{e}^{-\lambda x}\,\text{d}x \\
& = \int_0^a\left(\frac{\lambda^k x^{k-1}}{(k-1)!}-\frac{\lambda^{k+1} x^k}{k!} \right)\rm{e}^{-\lambda x}\,\text{d}x \\
& = \left(\frac{\lambda^k x^k}{k!}\rm{e}^{-\lambda x} \right)\bigg|_0^a \\
& = \frac{(\lambda a)^k}{k!}\rm{e}^{-\lambda a} \quad (k=1,2,\dots)
\end{aligned}
\]
明らかに、 \(N\) はポアソン分布に従って、
\[
E(N)=\lambda a \qquad V(N)=\lambda a
\]
である。
各非負の整数 \(n=0,1,\dots\) に対して、
\[
L(\lambda)=P(N=n)=\frac{(\lambda a)^n}{n!}\rm{e}^{-\lambda a}
\]
\[
l(\lambda)=\log(L(\lambda))=n\log(\lambda a)-\lambda a-\log(n!)
\]
\[
\frac{\partial l}{\partial\lambda}(\lambda)=\frac{n}{\lambda}-a=0 \Longrightarrow \hat{\lambda}=\frac{n}{a}
\]
したがって、最尤推定量は
\[
\hat{\lambda}(N)=\frac{N}{a}
\]
であり、
\[
E(\hat{\lambda}(N))=\frac{1}{a}E(N)=\lambda
\]
\[
V(\hat{\lambda}(N))=\frac{1}{a^2}V(N)=\frac{\lambda}{a}
\]
がわかる。