東京大学 情報理工学研究科 2023年度 数学 第1問
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以下の問いに答えよ。
(1) 実数変数 \(x, y\) の関数 \(f(x, y)\) を以下のように定義する。
\[
f(x,y) = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \\ 1 & x & y \end{vmatrix}
\]
方程式 \(f(x, y) = 0\) の解の集合は、\(xy\) 平面上の \(2\) 点 \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\) を通る直線となることを示せ。ただし、\(x_1 \neq x_2\) とする。
(2) 行列式
\[
\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{vmatrix}
\]
の値を因数分解した形で求めよ。
(3) \(xy\) 平面上の \(3\) 点 \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\), \((x_3, y_3)\) を通る曲線 \(y = a_0 + a_1x + a_2x^2\) が唯一存在することを示せ。ただし、\(a_0, a_1, a_2\) は定数で、\(x_1, x_2, x_3\) は互いに異なるとする。
(4) (3) の曲線は \(y = c_1y_1 + c_2y_2 + c_3y_3\) の形で表せる。ただし、\(c_1, c_2, c_3\) は \(y_1, y_2, y_3\) に依存しないものとする。\(c_1, c_2, c_3\) を求めよ。
(5) \(xy\) 平面上の \(5\) 点 \((x_1, y_1), \ldots, (x_5, y_5)\) を通る曲線 \(y = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4\) を \(y = c_1y_1 + \cdots + c_5y_5\) の形で表す。 ただし、\(c_1, \ldots, c_5\) は \(y_1, \ldots, y_5\) に依存しせず、\(x_1, \ldots, x_5\) はお互いに異なるとする。\(c_1\) を求めよ。
Kai
(1)
\(f(x,y)\) は \(x,y\) のそれぞれに関して1次式である。
また、2つの行が同じとき行列式は \(0\) であるので、
\(f(x_1, y_1)=0, \ f(x_2,y_2)=0\) もわかる。
よって、 \(f(x,y)=0\) は2点 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\) を通る直線である。
(2)
\[
\begin{aligned}
\begin{vmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2
\end{vmatrix}
&= \begin{vmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 \\
0 & x_2-x_1 & (x_1+x_2)(x_2-x_1) \\
0 & x_3-x_1 & (x_1+x_3)(x_3-x_1)
\end{vmatrix}
\\
&= \begin{vmatrix}
x_2-x_1 & (x_1+x_2)(x_2-x_1) \\
x_3-x_1 & (x_1+x_3)(x_3-x_1)
\end{vmatrix}
\\
&= (x_2-x_1) (x_3-x_1)
\begin{vmatrix} 1 & x_1+x_2 \\ 1 & x_3+x_1 \end{vmatrix}
\\
&= (x_2-x_1) (x_3-x_1) (x_3-x_2)
\\
&= (x_1-x_2) (x_2-x_3) (x_3-x_1)
\end{aligned}
\]
(3)
\(a_0, a_1, a_2\) が満たすべき条件は
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
である。 \(x_1, x_2, x_3\) が互いに異なるとき、 (2) より、
\[
\begin{aligned}
\begin{vmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2
\end{vmatrix}
\ne 0
\end{aligned}
\]
であるから、逆行列
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2
\end{pmatrix}^{-1}
\end{aligned}
\]
が唯一存在し、 \(a_0,a_1,a_2\) は
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
のみである。 よって、条件を満たす曲線は唯一存在する。
(4)
\[
\begin{aligned}
y
&= a_0 + a_1 x + a_2 x^2
\\
&= \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}
\\
&= \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}
\\
\therefore \ \
\begin{pmatrix} c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}
&= \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2
\end{pmatrix}^{-1}
\\
&= \frac{1}{(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_1)}
\begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_2 x_3 \begin{vmatrix} 1 & x_2 \\ 1 & x_3 \end{vmatrix} &
- x_1 x_3 \begin{vmatrix} 1 & x_1 \\ 1 & x_3 \end{vmatrix} &
x_1 x_2 \begin{vmatrix} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \end{vmatrix} \\
- \begin{vmatrix} 1 & x_2^2 \\ 1 & x_3^2 \end{vmatrix} &
\begin{vmatrix} 1 & x_1^2 \\ 1 & x_3^2 \end{vmatrix} &
- \begin{vmatrix} 1 & x_1^2 \\ 1 & x_2^2 \end{vmatrix} \\
\begin{vmatrix} 1 & x_2 \\ 1 & x_3 \end{vmatrix} &
- \begin{vmatrix} 1 & x_1 \\ 1 & x_3 \end{vmatrix} &
\begin{vmatrix} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \end{vmatrix}
\end{pmatrix}
\\
&= \frac{1}{(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_1)}
\begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
- x_2 x_3 (x_2-x_3) &
- x_1 x_3 (x_3-x_1) &
- x_1 x_2 (x_1-x_2) \\
(x_2+x_3)(x_2-x_3) &
(x_3+x_1)(x_3-x_1) &
(x_1+x_2)(x_1-x_2) \\
- (x_2-x_3) &
- (x_3-x_1) &
- (x_1-x_2)
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
\frac{-x_2x_3 + (x_2+x_3)x - x^2}{(x_1-x_2)(x_3-x_1)} &
\frac{-x_3x_1 + (x_3+x_1)x - x^2}{(x_1-x_2)(x_2-x_3)} &
\frac{-x_1x_2 + (x_1+x_2)x - x^2}{(x_2-x_3)(x_3-x_1)}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
(5)
\[
\begin{aligned}
y
&= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4
\\
&= \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 & x^4 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{pmatrix}
\\
&= \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 & x^4 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 & x_1^3 & x_1^4 \\
1 & x_2 & x_2^2 & x_2^3 & x_2^4 \\
1 & x_3 & x_3^2 & x_3^3 & x_3^4 \\
1 & x_4 & x_4^2 & x_4^3 & x_4^4 \\
1 & x_5 & x_5^2 & x_5^3 & x_5^4
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \\ y_5 \end{pmatrix}
\\
\therefore \ \
\begin{pmatrix} c_1 & c_2 & c_3 & c_4 & c_5 \end{pmatrix}
&= \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 & x^4 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 & x_1^3 & x_1^4 \\
1 & x_2 & x_2^2 & x_2^3 & x_2^4 \\
1 & x_3 & x_3^2 & x_3^3 & x_3^4 \\
1 & x_4 & x_4^2 & x_4^3 & x_4^4 \\
1 & x_5 & x_5^2 & x_5^3 & x_5^4
\end{pmatrix}^{-1}
\\
\therefore \ \
c_1
&= \frac{1}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_1-x_4)(x_1-x_5)
(x_2-x_3)(x_2-x_4)(x_2-x_5)(x_3-x_4)(x_3-x_5)(x_4-x_5)}
\\
& \ \ \ \ \times
\begin{pmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 & x^4 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_2 x_3 x_4 x_5
\begin{vmatrix}
1 & x_2 & x_2^2 & x_2^3 \\
1 & x_3 & x_3^2 & x_3^3 \\
1 & x_4 & x_4^2 & x_4^3 \\
1 & x_5 & x_5^2 & x_5^3
\end{vmatrix} \\
- \begin{vmatrix}
1 & x_2^2 & x_2^3 & x_2^4 \\
1 & x_3^2 & x_3^3 & x_3^4 \\
1 & x_4^2 & x_4^3 & x_4^4 \\
1 & x_5^2 & x_5^3 & x_5^4
\end{vmatrix} \\
\begin{vmatrix}
1 & x_2 & x_2^3 & x_2^4 \\
1 & x_3 & x_3^3 & x_3^4 \\
1 & x_4 & x_4^3 & x_4^4 \\
1 & x_5 & x_5^3 & x_5^4
\end{vmatrix} \\
- \begin{vmatrix}
1 & x_2 & x_2^2 & x_2^4 \\
1 & x_3 & x_3^2 & x_3^4 \\
1 & x_4 & x_4^2 & x_4^4 \\
1 & x_5 & x_5^2 & x_5^4
\end{vmatrix} \\
\begin{vmatrix}
1 & x_2 & x_2^2 & x_2^3 \\
1 & x_3 & x_3^2 & x_3^3 \\
1 & x_4 & x_4^2 & x_4^3 \\
1 & x_5 & x_5^2 & x_5^3
\end{vmatrix}
\end{pmatrix}
\\
&= \frac{1}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_1-x_4)(x_1-x_5)
(x_2-x_3)(x_2-x_4)(x_2-x_5)(x_3-x_4)(x_3-x_5)(x_4-x_5)}
\\
& \ \ \ \ \times
\begin{pmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 & x^4 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_2 x_3 x_4 x_5 (x_2-x_3)(x_2-x_4)(x_2-x_5)(x_3-x_4)(x_3-x_5)(x_4-x_5)
\\
- (x_2-x_3)(x_2-x_4)(x_2-x_5)(x_3-x_4)(x_3-x_5)(x_4-x_5)
(x_2x_3x_4 + x_2x_3x_5 + x_2x_4x_5 + x_3x_4x_5)
\\
(x_2-x_3)(x_2-x_4)(x_2-x_5)(x_3-x_4)(x_3-x_5)(x_4-x_5)
(x_2x_3 + x_2x_4 + x_2x_5 + x_3x_4 + x_3x_5 + x_4x_5)
\\
- (x_2-x_3)(x_2-x_4)(x_2-x_5)(x_3-x_4)(x_3-x_5)(x_4-x_5)
(x_2 + x_3 + x_4 + x_5)
\\
(x_2-x_3)(x_2-x_4)(x_2-x_5)(x_3-x_4)(x_3-x_5)(x_4-x_5)
\end{pmatrix}
\\
&= \frac{
x_2 x_3 x_4 x_5
- (x_2x_3x_4 + x_2x_3x_5 + x_2x_4x_5 + x_3x_4x_5) x
+ (x_2x_3 + x_2x_4 + x_2x_5 + x_3x_4 + x_3x_5 + x_4x_5) x^2
- (x_2 + x_3 + x_4 + x_5) x^3
+ x^4
}
{(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_1-x_4)(x_1-x_5)}
\end{aligned}
\]