東京大学 情報理工学研究科 2020年度 数学 第1問
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正方行列\(A,B\)を
\[
A=\begin{pmatrix}
1 & \sqrt{2} & 0 \\
\sqrt{2} & 1 & \sqrt{2} \\
0 & \sqrt{2} & 1\\
\end{pmatrix},
B=\begin{pmatrix}
0 &-\dfrac{2}{3} &\dfrac{1}{3} \\
\dfrac{2}{3} &0 &-\dfrac{2}{3} \\
-\dfrac{1}{3} &\dfrac{2}{3} &0 \\
\end{pmatrix}
\]
とする．また,行列\(I\)は単位行列とする．実正方行列\(X\)に対して,\(\exp(X)\)を
\[
\exp(X)=\sum_{k=0}^\infty(\frac{1}{k!}X^{k})=I+X+\frac{1}{2!}X^2+\frac{1}{3!}X^3+\ldots
\]
と定義するとき,以下の問いに答えよ．
(1)、\(A\)の全ての固有値と,それらに対応する固有ベクトルを求めよ．ただし,固有ベクトルとして、ノルムは1かつ第一要素は非負実数であるものを選べ．
(2)、非負整数\(n\)に対して,\(A^{n}\)を求めよ．
(3)、\(\exp(A)\)を求めよ．
(4)、\(\alpha\)を実数とするとき、\(\exp(\alpha B)\)が次式のように表せることを示せ．
\[
\exp(\alpha B)=I+(\sin\alpha)B+(1-\cos\alpha)B^2
\]
ただし、ケーリー・ハミルトンの定理を用いてもよい．
(5)、3次元実ベクトル\(\alpha\)が与えられたとき、3次元実ベクトル\(x\)に関する関数\(f\)を
\[
f(x)=\sum_{k=1}^{n}\left \Vert\exp(\frac{2\pi k}{n}B)\alpha-x \right \Vert ^2
\]
とおく．ただし、\(n\ge2\)とする．このとき、\(x=(I+B^2)\alpha\)において\(f\)が最小になることを示せ．
Kai
(1)
\(A\) の固有値を \(\lambda\) とすると、
\[
\begin{aligned}
0
&=
\begin{vmatrix}
1 - \lambda & \sqrt{2} & 0 \\
\sqrt{2} & 1 - \lambda & \sqrt{2} \\
0 & \sqrt{2} & 1 - \lambda
\end{vmatrix}
\\
&=
(1 - \lambda)^3 - 2 (1 - \lambda) - 2 (1 - \lambda)
\\
&=
- ( \lambda + 1 ) ( \lambda - 1 ) ( \lambda - 3 )
\end{aligned}
\]
なので、 \(\lambda = -1, 1, 3\) である。
固有値 \(\lambda = -1\) に対応する固有ベクトルを求めるため、
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
1 & \sqrt{2} & 0 \\
\sqrt{2} & 1 & \sqrt{2} \\
0 & \sqrt{2} & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
=
- \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと、 \(y = - \sqrt{2} x = - \sqrt{2} z\) を得る。
固有値 \(\lambda = 1\) に対応する固有ベクトルを求めるため、
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
1 & \sqrt{2} & 0 \\
\sqrt{2} & 1 & \sqrt{2} \\
0 & \sqrt{2} & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと、 \(y=0, x+z=0\) を得る。
固有値 \(\lambda = 3\) に対応する固有ベクトルを求めるため、
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
1 & \sqrt{2} & 0 \\
\sqrt{2} & 1 & \sqrt{2} \\
0 & \sqrt{2} & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
=
3 \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと、 \(y = \sqrt{2} x = \sqrt{2} z\) を得る。
以上より、固有値 \(\lambda = -1, 1, 3\) に対応する固有ベクトルは、次のように選べる：
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix}
, \ \
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}
, \ \
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix}
.
\end{aligned}
\]
(2)
上で求めた固有値・固有ベクトルを使って、次のようにおく：
\[
\begin{aligned}
V
=
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
1 & \sqrt{2} & 1 \\
- \sqrt{2} & 0 & \sqrt{2} \\
1 & - \sqrt{2} & 1
\end{pmatrix}
, \ \
C
=
\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}
.
\end{aligned}
\]
このとき、
\[
\begin{aligned}
V^{-1}
&=
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
1 & - \sqrt{2} & 1 \\
\sqrt{2} & 0 & - \sqrt{2} \\
1 & \sqrt{2} & 1
\end{pmatrix}
\\
A &= V C V^{-1}
\end{aligned}
\]
であるから、
\[
\begin{aligned}
A^n
&= V C^n V^{-1}
\\
&=
\frac{1}{4}
\begin{pmatrix}
1 & \sqrt{2} & 1 \\
- \sqrt{2} & 0 & \sqrt{2} \\
1 & - \sqrt{2} & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
(-1)^n & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 3^n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & - \sqrt{2} & 1 \\
\sqrt{2} & 0 & - \sqrt{2} \\
1 & \sqrt{2} & 1
\end{pmatrix}
\\
&=
\frac{1}{4}
\begin{pmatrix}
(-1)^n + 2 + 3^n &
-\sqrt{2} \cdot (-1)^n + \sqrt{2} \cdot 3^n &
(-1)^n - 2 + 3^n \\
-\sqrt{2} \cdot (-1)^n + \sqrt{2} \cdot 3^n &
2 \cdot (-1)^n + 2 \cdot 3^n &
-\sqrt{2} \cdot (-1)^n + \sqrt{2} \cdot 3^n \\
(-1)^n - 2 + 3^n &
-\sqrt{2} \cdot (-1)^n + \sqrt{2} \cdot 3^n &
(-1)^n + 2 + 3^n
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
を得る。
(3)
\[
\begin{aligned}
\exp A
&=
\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} A^k
\\
&=
\frac{1}{4} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}
\begin{pmatrix}
(-1)^k + 2 + 3^k &
-\sqrt{2} \cdot (-1)^k + \sqrt{2} \cdot 3^k &
(-1)^k - 2 + 3^k \\
-\sqrt{2} \cdot (-1)^k + \sqrt{2} \cdot 3^k &
2 \cdot (-1)^k + 2 \cdot 3^k &
-\sqrt{2} \cdot (-1)^k + \sqrt{2} \cdot 3^k \\
(-1)^k - 2 + 3^k &
-\sqrt{2} \cdot (-1)^k + \sqrt{2} \cdot 3^k &
(-1)^k + 2 + 3^k
\end{pmatrix}
\\
&=
\frac{1}{4}
\begin{pmatrix}
e^{-1} + 2e + e^3 &
-\sqrt{2} e^{-1} + \sqrt{2} e^3 &
e^{-1} - 2e + e^3 \\
-\sqrt{2} e^{-1} + \sqrt{2} e^3 &
2 e^{-1} + 2 e^3 &
-\sqrt{2} e^{-1} + \sqrt{2} e^3 \\
e^{-1} - 2e + e^3 &
-\sqrt{2} e^{-1} + \sqrt{2} e^3 &
e^{-1} + 2e + e^3
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
(4)
\(B\) の固有多項式を \(\varphi(x)\) とする：
\[
\begin{aligned}
\varphi(x) = \det (B - xI)
= -x^3 - x
.
\end{aligned}
\]
ケーリー・ハミルトンの定理より、
\[
\begin{aligned}
\varphi(B) &= -B^3 - B = 0
\\
\therefore \ \
B^3 &= - B
\end{aligned}
\]
であるから、
\[
\begin{aligned}
\exp (\alpha B)
&=
I + \alpha B + \frac{1}{2!} (\alpha B)^2
+ \frac{1}{3!} (\alpha B)^3 + \frac{1}{4!} (\alpha B)^4
+ \cdots
\\
&=
I + \alpha B + \frac{1}{2!} \alpha^2 B^2
- \frac{1}{3!} \alpha^3 B - \frac{1}{4!} \alpha^4 B^2
+ \cdots
\\
&=
I + \left( \alpha - \frac{1}{3!} \alpha^3 \cdots \right) B
+ \left( \frac{1}{2!} \alpha^2 - \frac{1}{4!} \alpha^4 \cdots \right) B^2
\\
&=
I + \left( \sin \alpha \right) B
+ \left( 1 - \cos \alpha \right) B^2
\end{aligned}
\]
となる。
(5)
\[
\begin{aligned}
f(x) &= \sum_{k=1}^n ||\exp \bigg( \frac{2k \pi}{n} B \bigg) a - x ||^2 \\
&= \sum_{k=1}^n \bigg( \exp \bigg( \frac{2k \pi}{n} B \bigg)a - x \bigg)^T \bigg( \exp \bigg( \frac{2k \pi}{n} B \bigg)a - x \bigg) \\
&= \sum_{k=1}^n \bigg( x^T x - 2a^T \exp \bigg( \frac{2k \pi}{n} B\bigg)^T x + a^T \exp \bigg( \frac{2k \pi}{n} B\bigg)^T \exp \bigg(\frac{2k \pi}{n} B \bigg) a \bigg) \\
&= \sum_{k=1}^n x^T x - 2a^T \bigg(\sum_{k=1}^n \exp \bigg(\frac{2k \pi}{n} B \bigg) \bigg)^T x + a^T \bigg(\sum_{k=1}^n \exp \bigg( \frac{2k \pi}{n} B\bigg)^T \exp \bigg(\frac{2k \pi}{n} B \bigg) \bigg) a
\end{aligned}
\]
\(B\)は反対称行列なので、\(B^T = -B\)、よって
\[
\begin{aligned}
\exp \bigg( \frac{2k \pi}{n} B\bigg)^T \exp \bigg(\frac{2k \pi}{n} B \bigg) &= \exp \bigg( \frac{2k \pi}{n} B^T\bigg) \exp \bigg(\frac{2k \pi}{n} B \bigg) \\
&= \exp \bigg(\frac{2k \pi}{n} (B^T + B) \bigg) \\
&= \exp \big(\frac{2k \pi}{n} O \big) = I
\end{aligned}
\]
また、(4)で得た
\[
\exp (\alpha B) = I + \left( \sin \alpha \right) B
+ \left( 1 - \cos \alpha \right) B^2
\]
に \(\alpha = \frac{2k \pi}{n}\) を代入すると、
\[
\exp (\frac{2k \pi}{n} B) = I + \left( \sin \frac{2k \pi}{n} \right) B
+ \left( 1 - \cos \frac{2k \pi}{n} \right) B^2
\]
を得るので
\[
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^n \exp \bigg(\frac{2k \pi}{n} B \bigg) &= \sum_{k=1}^n \bigg(I + \bigg( \sin \frac{2k \pi}{n} \bigg) B
+ \bigg( 1 - \cos \frac{2k \pi}{n} \bigg)B^2 \bigg) \\
&= \sum_{k=1}^n I + \bigg( \sum_{k=1}^n \sin \bigg( \frac{2k \pi}{n} \bigg) \bigg)B + \sum_{k=1}^n B^2 - \bigg( \sum_{k=1}^n \bigg(\cos \frac{2k \pi}{n} \bigg) \bigg) B^2 \\
&= nI + 0 + nB^2 - 0 = nI + nB^2
\end{aligned}
\]
がわかる。さらに、
\[
\begin{aligned}
(I + B^2)^T (1 + B^2) &= I + (B^2)^T + B^2 + (B^2)^T B^2 \\
&= I + (-B)^2 + B^2 + (-B^2)^2 \\
&= I + 2B^2 + B^4 \\
&= I + 2B^2 - B^2 \\
&= I + B^2
\end{aligned}
\]
となるので、
\[
\begin{aligned}
f(x) &= nx^Tx - 2na^T (I + B^2)^T x + na^Ta \\
&= n(x^Tx - 2a^T(I + B^2)^T x + a^Ta) \\
&= n(x^T x - 2a^T (I + B^2)^T x + a^T (I + B^2 + B^4)a) \\
&= n(x^T x - 2a^T (I + B^2)^T x + a^T(I + B^2)a + a^TB^4 a) \\
&= n(x^T x - 2a^T (I + B^2)^T x + a^T(I + B^2)^T(I + B^2)a + a^T(B^2)^TB^2a) \\
&= n(||x - (I+B^2)a||^2 + ||B^2a||^2)
\end{aligned}
\]
である。つまり、が最小値になるのは
\[
x = (I + B^2)a
\]
の時である。