東京大学 情報理工学研究科 2019年度 数学 第2問
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実数値関数 \(u(x,t)\) が \(-\infty < x < \infty\), \(t \geq 0\) で定義されている。ここで、\(x\) と \(t\) は独立である。偏微分方程式
\[
\begin{align}
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \tag{2.1}
\end{align}
\]
の解を初期条件
\[
\begin{align}
&u(x,0) = \exp(-ax^2) \tag{2.2} \\
&\frac{\partial u}{\partial t}(x,0) = 0 \tag{2.3}
\end{align}
\]
の下で求める。ただし、\(a, c\) は正の実数とする。 また、\(i\) を虚数単位とする。以下の問いに答えよ。
(1) 次の式を複素積分を用いて計算せよ。
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \exp\left( -a(x + id)^2 \right) dx
\]
ただし、\(d\) は実数である。また、以下の式を用いてもよい。
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-x^2)dx = \sqrt{\pi}
\]
(2) \(u(x,t)\) の \(x\) に関するフーリエ変換 \(U(k,t)\) を
\[
U(k,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} u(x,t) \exp(-ikx)dx
\]
と定義する。 ここで、\(x\) に関する積分と \(t\) に関する微分の順序の交換が可能であると仮定してよい。 さらに、\(u(x,t)\) と \(\frac{\partial u}{\partial x}(x,t)\) は任意の \(t\) に対して \(x \to \pm \infty\) のとき \(0\) に収束するものとする。
- (i) \(u(x,t)\) が式 (2.1) を満たすとき、\(U(k,t)\) が従う偏微分方程式を求めよ。
- (ii) (i) の解は式 (2.3) の初期条件のもとで、\(k\) を変数とする関数 \(F(k)\) を用いて以下のように表せることを示せ。
\[
U(k,t) = F(k) \cos(kct)
\]
- (iii) さらに、式 (2.2) の初期条件のもとで \(F(k)\) を求め、\(U(k,t)\) を与えよ。設問 (1) の結果を用いてもよい。
(3) 設問 (2) で得られた \(U(k,t)\) のフーリエ逆変換を計算することにより、\(u(x,t)\) を求めよ。ただし、フーリエ逆変換は次式で定義される。
\[
u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} U(k,t) \exp(ikx)dk
\]
Kai
(1)
\[
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a(x+id)^2} dx &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx \\
&= \frac{1}{\sqrt{a}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(\sqrt{a}x)^2} d(\sqrt{a}x) \\
&= \sqrt{\frac{\pi}{a}}
\end{aligned}
\]
(2)
(i)
\[
\begin{aligned}
\mathcal{F} \left [ \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} \right] &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ikx} d(u(x,t)) \qquad (\text{对 } x \text{ 微分}) \\
&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} (e^{ikx} u(x,t) \bigg|_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} u(x,t)(-ik)e^{-ikx} dx) \\
&(\text{由于 } x \to \pm \infty \text{ 时 } u(x,t)=0, \text{ 左项为 } 0) \\
&= ikU(k,t)
\end{aligned}
\]
由于 \(x \to \pm \infty\) 时 \(\frac{\partial u(x,t)}{\partial x} = 0\), 同理可得
\[
\mathcal{F}\left[ \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} \right] = -k^2 U(k,t)
\]
\[
\mathcal{F}\left[ \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} \right] = \frac{\partial^2 \mathcal{F[u(x,t)]}}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 U(k,t)}{\partial t^2}
\]
满足的微分方程式为
\[
\frac{\partial^2 U(k,t)}{\partial t^2} = -k^2 c^2 U(k,t)
\]
(ii)
\(U(k,t)\) 有形式
\[
U(k,t) = G(k) \sin (kct) + F(k) \cos (kct)
\]
由初值条件 \(\frac{\partial u(x,0)}{\partial} = 0\)
\[
\frac{\partial U(k,t)}{\partial t} \bigg |_{t=0} = kcG(k) \cos (kct) - kcF(k) \sin(kct) \bigg|_{t=0} = 0
\]
得到 \(G(k) = 0\), 因此
\[
U(k,t) = F(k) \cos(kct)
\]
(iii)
由初值条件 \(u(x,0) = e^{-ax^2}\)
\[
\begin{aligned}
F(k) = U(k, 0) &= \mathcal{F}[u(x, 0)] \\
&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} e^{-ikx} dx \\
&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp (-a(x + \frac{ik}{2a})^2) \exp (-\frac{k^2}{4a}) dx \\
&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \sqrt{\frac{\pi}{a}} \exp (-\frac{k^2}{4a}) \\
&= \frac{1}{\sqrt{2a}}\exp (-\frac{k^2}{4a})
\end{aligned}
\]
(3)
\[
U(k,t) = \frac{1}{\sqrt{2a}} \exp(-\frac{k^2}{4a}) \cos (kct)
\]
\[
\begin{aligned}
u(x,t) &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \frac{1}{\sqrt{2a}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp(-\frac{k^2}{4a}) \exp (ikx) \frac{\exp(ikct) + \exp(-ikct)}{2} dk \\
&= \frac{1}{4\sqrt{\pi a}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp(-\frac{k^2}{4a}) \left( \exp(i(x-ct)k) + \exp(i(x+ct)k) \right) dk \\
&= \frac{1}{4\sqrt{\pi a}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left( -\frac{1}{4a} (k^2- i4a(x + ct)k) \right) dk + \frac{1}{4\sqrt{\pi a}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left( -\frac{1}{4a} (k^2- i4a(x - ct)k) \right) dk \\
&= I_1 + I_2
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
I_1 &= \frac{1}{4\sqrt{\pi a}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left( -\frac{1}{4a} (k^2- i4a(x + ct)k) \right) dk \\
&= \frac{1}{4\sqrt{\pi a}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left( -\frac{1}{4a} (k-2i(x+ct)a)^2 \right) \exp \left( -\frac{1}{4a} (4(x+ct)^2a^2) \right) dk \\
&= \frac{1}{4\sqrt{\pi a}} \exp \left( -\frac{1}{4a} (4(x+ct)^2 a^2) \right) \sqrt{4a \pi} \\
&= \frac{1}{2} e^{-a(x+ct)^2}
\end{aligned}
\]
同理 \(I_2 = \frac{1}{2} e^{-a(x-ct)^2}\)
\[
u(x,t) = \frac{1}{2} e^{-a(x+ct)^2} + \frac{1}{2} e^{-a(x-ct)^2}
\]