東京大学 情報理工学研究科 2019年度 数学 第1問

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etsurin

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複素正方行列 \(X\) は、 \(XX^* = I\) を満たすとき、ユニタリ行列であるという。 ただし、\(X^*\) は行列 \(X\) の共役転置行列（もしくは、随伴行列とも呼ばれる）を表し、\(I\) は単位行列である。\(i\) は虚数単位とする。以下の問いに答えよ。

(1) \(n\) を正の整数とし、\(A, B\) を \(n\) 次ユニタリ行列とする。 行列 \(AB\) もユニタリ行列であることを示せ。

(2) \(n\) を正の整数とし、\(C, D\) を \(n\) 次実正方行列とする。 行列 \(F\) を \(F = C + iD\) と定義し、行列 \(G\) を

\[ G = \begin{pmatrix} C & -D \\ D & C \end{pmatrix} \]

と定義する。 行列 \(F\) がユニタリ行列であることと行列 \(G\) が直交行列であることは同値であることを示せ。

(3) 次の行列の固有値を求めよ。

\[ \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & i & -1 & -i \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -i & -1 & i \end{pmatrix} \]

(4) \(n\) を正の整数とし、\(n\) 次正方行列 \(Q\) の \((j, k)\) 成分 \(q_{jk}\) を

\[ q_{jk} = \frac{1}{\sqrt{n}} \exp\left( \frac{2\pi i (j-1)(k-1)}{n} \right) \]

とする。行列 \(Q\) はユニタリ行列であることを示せ。

(5) 行列式が \(1\) である \(2\) 次のユニタリ行列は次の一形式を持つことを示せ。

\[ H = \begin{pmatrix} \exp(i\psi) \cos \theta & \exp(i\psi) \sin \theta \\ -\exp(-i\psi) \sin \theta & \exp(-i\psi) \cos \theta \end{pmatrix} \]

ただし、\(\theta\) と \(\psi\) は実数であるとする。

(6) \(2\) 次のユニタリ行列の一般形を求めよ。

Kai

(1)

\(A、B\) 是酉矩阵，则

\[ AA^* = I \qquad BB^* = I \]

\[ AB(AB)^* = ABB^*A^* = I \]

(2)

\(F\) 是酉矩阵

\[ FF^* = (C+iD)(C^* - iD^*) = CC^* + DD^* + i(DC^* - CD^*) = I \]

\(C, D\) 均为实矩阵、则

\[ CC^T + DD^T = I \qquad DC^T - CD^T = 0 \]

\(G\) 是正交矩阵、则 \(G^T = G^{-1}, G^T = \begin{pmatrix} C^T & D^T \\ -D^T & C^T \end{pmatrix}\)、

\[ \begin{aligned} GG^T &= \begin{pmatrix} CC^T + DD^T & CD^T-DC^T \\ DC^T - CD^T & DD^T+CC^T \end{pmatrix} = I \\ &\Rightarrow CC^T + DD^T = I, \quad DC^T-CD^T = 0 \end{aligned} \]

(3)

令

\[ A = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & i & -1 & -i \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -i & -1 & i \end{pmatrix} \]

\(A\) 是个酉矩阵，\(AA^*=I\)。令 \(A=C+iD\)，则有 \(C^2 + D^2 = I\)，其中

\[ C = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \qquad D = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

容易观察到 \(CD = 0\)。考虑利用酉矩阵的性质寻找 \(A\) 的特征多项式。

\[ A^2 = C^2 - D^2 \qquad A^3=(C^2-D^2)(C+iD)=C^3-iD^3 \]

\[ A^4=(C^3-iD^3)(C+iD) = C^4 + D^4 = (C^2 + D^2)^2 = I \]

矩阵逆唯一，则 \(A^3 = A^{-1}=A^*=C-iD, C^3 = C, D^3 = D\)。 同时，注意到 \(C^2 \neq C, D^2=D\), 则有

\[ A^3 = C-iD=A-i2D = A-i2D^2 = A-i(I-A^2) \]

\[ A(A^2-I) + i(I-A^2) = (A-iI)(A+I)(A-I) = 0 \]

特征值 \(\lambda_1 = i, \lambda_2 = 1, \lambda_3 = -1\)。

(4)

令 \(q_k = \begin{pmatrix}q_{1k} \\q_{2k} \\ \vdots \\q_{nk}\end{pmatrix}\), 则 \(||q_k||^2 = n \times (\frac{1}{\sqrt{n}})^2 = 1\)

考虑不同的 \(m,j,q_m = \begin{pmatrix}q_{1m} \\q_{2m} \\ \vdots \\q_{nm}\end{pmatrix},q_j = \begin{pmatrix}q_{1j} \\q_{2j} \\ \vdots \\q_{nj}\end{pmatrix}\)

\[ \begin{aligned} q_{km}\overline{q_{kj}} &= \frac{1}{n}\exp\bigg(\frac{2\pi i(k - 1)(m - 1) - 2\pi i(k - 1)(j - 1)}{n}\bigg) \\ &= \exp\bigg(\frac{2\pi i(k - 1)(m - j)}{n}\bigg) \\ q_m\overline{q_j} &= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\exp\bigg(\frac{2\pi i(k - 1)(m - j)}{n}\bigg) \\ &= \frac{1}{n}\big(e^{-\frac{2\pi i(m - j)0}{n}} + e^{-\frac{2\pi i(m - j)1}{n}} + \cdots + e^{-\frac{2\pi i(m - j)(n - 1)}{n}}\big) \\ &= 0 \end{aligned} \]

因此 \(QQ^* = I , Q\) 是酉矩阵。

(5)

\(\det(H) = \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1\) 成立

\[ H = \begin{pmatrix} e^{i\psi}\cos\theta & e^{i\psi}\sin\theta \\ -e^{-i\psi}\sin\theta & e^{-i\psi}\cos\theta \\ \end{pmatrix} \quad H^* = \begin{pmatrix} e^{-i\psi}\cos\theta & -e^{i\psi}\sin\theta \\ e^{-i\psi}\sin\theta & e^{i\psi}\cos\theta \\ \end{pmatrix} \]

\(HH^* = I\) 成立，题中的 \(H\) 是行列式为 1 的酉矩阵的一种形式。

(6)

设 \(H = \begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}\) , 则 \(H^* = \begin{pmatrix}\overline{a} & \overline{c} \\\overline{b} & \overline{d}\end{pmatrix} , HH^* = I\) , 即

\[ \begin{pmatrix} a\overline{a} + b\overline{b} & a\overline{c} + b\overline{d} \\ \overline{a}c + \overline{b}d & c\overline{c} + d\overline{d} \\ \end{pmatrix} = I \]

\(H^*H = I\) 同样成立

\[ \begin{pmatrix} a\overline{a} + c\overline{c} & a\overline{b} + c\overline{d} \\ \overline{a}b + \overline{c}d & b\overline{b} + d\overline{d} \\ \end{pmatrix} = I \]

须满足条件为

\[ \begin{align} a\overline{a} + b\overline{b} = c\overline{c} + d\overline{d} &= 1 \quad a\overline{a} + c\overline{c} = b\overline{b} + d\overline{d} = 1 \tag{1} \\ a\overline{c} + b\overline{d} &= 0 \quad a\overline{b} + c\overline{d} = 0 \tag{2} \end{align} \]

\(H\) 满足式 (1) , 则需有形式

\[ H = \begin{pmatrix} \cos\theta e^{i\psi_1} & \sin\theta e^{i\psi_2} \\ \sin\theta e^{i\psi_3} & \cos\theta e^{i\psi_4} \\ \end{pmatrix} \tag{3} \]

\(H\) 满足式 (2)，由于行列正交等价，只需 \(\cos \theta \sin \theta e^{i(\psi_1-\psi_3)} + \sin \theta \cos \theta e^{i(\psi_2 - \psi_4)}=0\)。 因 此在式 (3) 形式的基础上，还需满足

\[ \psi_1 - \psi_3 = \psi_2-\psi_4 + \pi + 2k \pi \qquad k = 0, 1, 2, \ldots \]