東京大学 情報理工学研究科 2018年度 数学 第2問
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etsurin
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関数 \(f_1\) を \([0,1]\) 上で定義される正値の定数関数とし、\(f_1(x) = c\) とおく。
また、正の実数 \(p, q\) を \(1/p + 1/q = 1\) を満たすものとする。
これらに対し、\([0,1]\) 上で定義される関数の列 \(\{f_n\}\) を
\[
f_{n+1}(x) = p \int_0^x (f_n(t))^{1/q} \, dt \quad (n = 1, 2, \ldots)
\]
で定める。以下の問いに答えよ。
(1) \(a_1 = 0, \, c_1 = c\) かつ
\[
\begin{aligned}
a_{n+1} &= q^{-1} a_n + 1 \quad (n = 1, 2, \ldots), \\
c_{n+1} &= \frac{p \left( c_n \right)^{1/q}}{a_{n+1}} \quad (n = 1, 2, \ldots)
\end{aligned}
\]
で定まる実数列 \(\{a_n\}\) と \(\{c_n\}\) を用いて \(f_n(x) = c_n x^{a_n}\) と表されることを示せ。
(2) \(n \geq 2\) に対し \([0,1]\) 上で定義される関数 \(g_n\) を \(g_n(x) = x^{a_n} - x^p\) とおく。
\(n \geq 2\) に対し \(a_n \geq 1\) となることに注意して、\(g_n\) がある点 \(x = x_n\) で最大値をとることを示し、この \(x_n\) を求めよ。
(3) 任意の \(x \in [0,1]\) に対して \(\lim_{n \to \infty} g_n(x) = 0\) となることを示せ。
(4) \(d_n = (c_n)^{q^n}\) とおく。\(d_{n+1}/d_n\) が \(n \to \infty\) のとき有限な正の値に収束することを示せ。
なお、\(\lim_{t \to \infty} (1 - 1/t)^t = 1/e\) となることは用いて良い。
(5) \(\lim_{n \to \infty} c_n\) の値を求めよ。
(6) 任意の \(x \in [0,1]\) に対して \(\lim_{n \to \infty} f_n(x) = x^p\) となることを示せ。
Kai
(1)
使用归纳法证明。
\(n = 1\) 时，\(f_1(x) = c_1 x^{a_1} = c\) 成立。
假设 \(n = k\) 时，\(f_k(x) = c_k x^{a_k}\) 成立，对 n = k + 1 的情况
\[
\begin{aligned}
f_{k+1} (x) &= p \int_0^x (c_k t^{a_k})^{1/q} dt \\
&= pc^{1/q}_k \int_0^x t^{a_k / q} dt \\
&= \frac{pc^{1/q}_k}{a_k/q + 1} x^{a_k/q + 1} \\
&= c_{k+1} x^{a_{k + 1}}
\end{aligned}
\]
因此，\(f_n(x) = c_n x^{a_n}\) 对任意 \(n \geq 1\) 成立。
(2)
\[
a_{n+1} = a_n/q + 1 \Rightarrow a_{n+1} + \frac{q}{1-q} = \frac{1}{q}(a_n + \frac{q}{1-q}) \Rightarrow a_n = \frac{q}{1-q}((1/q)^{n-1} - 1)
\]
对 \(g_n(x)\) 求导，令 \(g'_n(x) = 0\)，则有
\[
\begin{aligned}
g'_n(x) &= a_n x^{a_n - 1} - px^{p-1} \\
&= \frac{q}{q-1} \left( 1-(1/q)^{n-1} \right) x^{\frac{1}{q-1} - \frac{q}{q-1}(1/q)^{n-1}} - \frac{q}{q-1}x^{\frac{1}{q-1}} \\
&= \frac{q}{q-1} x^{\frac{1}{q-1} - \frac{q}{q-1}(1/q)^{n-1}} \left( (1 - (1/q)^{n-1}) - x^{\frac{q}{q-1} (1/q)^{n-1}} \right) \\
&= 0
\end{aligned}
\]
即有
\[
x_n = \left( 1 - (1/q)^{n-1} \right)^{(q-1)q^{n-2}}
\]
\(q > 1\)，因此 \(1 - (1/q)^{n-1} \in (0, 1), (q-1)q^{n-2} > 0, x_n \in (0, 1)\)。
\(x \in (0, x_n)\) 时，\(g'_n(x) > 0\)，\(x \in (x_n, 1)\) 时，\(g'_n(x) < 0\)。\(g_n(x)\) 在 \(x_n\) 处取得最大值。
(3)
\[
\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{q}{q-1} = p \qquad \lim_{n \to \infty} g_n(x) = x^p - x^p = 0
\]
(4)
\[
\begin{aligned}
\frac{d_{n+1}}{d_n} &= \frac{(c_{n+1})^{q^{n+1}}}{(c_n)^{q^n}} \\
&= \left( \frac{p}{a_{n+1}} \right)^{q^{n+1}} \frac{((c_n)^{1/q})^{q^{n+1}}}{(c_n)^{q^n}} \\
&= \left( \frac{p}{\frac{q}{q-1}(1 - (1/q)^n)} \right)^{q^{n+1}} \\
&= \frac{1}{((1 - 1/q^n)^{q^n})^q}
\end{aligned}
\]
\(n \to \infty\) 取极限，得到
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{d_{n+1}}{d_n} = \frac{1}{(1/e)^q} = e^q
\]
(5)
对 (4) 的结论取对数
\[
\lim_{n \to \infty} (q^{n+1} \ln c_{n+1} - q^n \ln c_n) = q
\]
假设 \(\lim_{n \to \infty} \ln c_n = A\)，则有
\[
\lim_{n \to \infty} (q^n A - q^{n-1}A) = 1 \qquad A = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{q^{n-1}(q - 1)}
\]
\(q > 1\)，因此 \(A = 0\)，即有 \(\lim_{n \to \infty} c_n = 1\)。
(6)
\[
\lim_{n \to \infty} c_n = 1 \qquad \lim_{n \to \infty} a_n = p
\]
\[
\lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} c_n x^{a_n} = x^p
\]