東京大学 情報理工学研究科 2017年度 数学 第2問

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etsurin

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実数値関数 \(u(x, t)\) が \(0 \leq x \leq 1, t \geq 0\) で定義されている。ここで、\(x\) と \(t\) は互いに独立である。 偏微分方程式

\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \tag{*} \]

の解を次の条件

\[ \begin{aligned} &\text{境界条件}： u(0, t) = u(1, t) = 0 \\ &\text{初期条件}： u(x, 0) = x - x^2 \end{aligned} \]

のもとで求める。ただし、定数関数 \(u(x, t) = 0\) は明らかに解であるから、それ以外の解を考える。 以下の問いに答えよ。

(1) 次の式を計算せよ。ここで、\(n, m\) はともに正の整数とする。

\[ \int_0^1 \sin (n \pi x) \sin (m \pi x) \, dx \]

(2) \(x\) のみの関数 \(\xi (x)\) および \(t\) のみの関数 \(\tau (t)\) を用いて、\(u(x, t) = \xi (x) \tau (t)\) とおけるとする。 任意の定数 \(C\) を用いて、\(\xi\) および \(\tau\) が満たす常微分方程式をそれぞれ表せ。 関数 \(f(x)\) と関数 \(g(t)\) が任意の \(x\) と \(t\) について \(f(x) = g(t)\) を満たす場合は、\(f(x)\) と \(g(t)\) が定数関数となることを用いてもよい。

(3) 設問 (2) の常微分方程式を解け。 次に、境界条件を満たす偏微分方程式 (*) の解の一つが次の式で表される \(u_n (x, t)\) で与えられることを示し、\(\alpha, \beta\) を正の整数 \(n\) を用いて表せ。

\[ u_n (x, t) = e^{\alpha t} \sin (\beta x) \]

(4) 境界条件と初期条件を満たす偏微分方程式 (*) の解は \(u_n(x, t)\) の線形結合として次の式で表される。 \(c_n\) を求めよ。設問 (1) の結果を用いてもよい。

\[ u(x, t) = \sum_{n=1}^\infty c_n u_n (x, t) \]

Kai

(1)

\(m \neq n\) 时

\[ \int_0^1 \sin (n \pi x) \sin (m \pi x) dx = \int_0^1 \frac{1}{2} \left( \cos ((m-n)\pi x) - \cos ((m+n) \pi x) \right) dx = 0 \]

\(m = n\) 时

\[ \int_0^1 \sin^2(n \pi x) dx = \int_0^1 \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos (2 \pi nx)dx = \frac{1}{2} \]

(2)

假设 \(u(x,t)\) 有形式 \(u(x, t) = \xi (x) \tau (t)\)

\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \xi (x) \tau'(t) \qquad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \xi''(x) \tau (t) \qquad \xi(x) \tau'(t) = \xi''(x) \tau(t) \]

因此有 \(\frac{\xi''(x)}{\xi(x)} = \frac{\tau'(t)}{\tau(t)} = -C\) (\(C\) 为常数), 满足的微分方程式为

\[ \xi''(x) + C\xi (x) = 0 \qquad \tau'(t) + C \tau(t) = 0 \]

(3)

\(C < 0\) 时, \(\xi(x) = c_1 e^{\sqrt{-C}x} + c_2 e^{-\sqrt{-C}x}\); \(C = 0\) 时, \(\xi(x) = c_1 x + c_2\) (\(c_1, c_2\) 为常数), 代入边界条件 \(\xi(0) = \xi(1) = 0\), 则 \(c_1 = c_2 = 0\).

因此为使 \(\xi(x)\) 有非零解, \(C > 0\).

\(C > 0\) 时, \(\xi(x) = c_1 \sin(\sqrt{C}x) + c_2 \cos (\sqrt{C}x)\). \(\xi(0) = 0\), 则 \(c_2 = 0\), \(\xi(1) = 0\), 则 \(\sqrt{C} = n \pi\). \(\tau(t) = e^{-Ct} = e^{-n^2 \pi^2 t}\).

因此，一个满足边界条件的解有如下形式

\[ u_n(x,t) = e^{\alpha t} \sin (\beta x) \]

其中 \(\alpha = -n^2 \pi^2, \beta = n \pi\).

(4)

由初始条件

\[ u(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin (n \pi x) = x - x^2 \]

两边同时乘 \(\sin(k \pi x)\) 积分，由 (1)

\[ \frac{1}{2} c_k = \int_0^1 (x-x^2) \sin (k \pi x) dx \]

而

\[ \int x \sin(k \pi x)dx = -\frac{1}{k \pi} \int x d(\cos (k \pi x)) = -\frac{1}{k \pi} (x \cos (k \pi x) - \frac{\sin(k \pi x)}{k \pi}) \]

\[ \begin{aligned} \int x^2 \sin(k \pi x)dx &= -\frac{1}{k \pi} \int x^2 d(\cos (k \pi x)) \\ &= -\frac{1}{k \pi} x^2 \cos (k \pi x) + \frac{2}{k \pi} \int x \cos(k \pi x) dx \\ &= -\frac{1}{k \pi} x^2 \cos (k \pi x) + \frac{2}{k^2 \pi^2} \int x d(\sin (k \pi x)) \\ &= -\frac{1}{k \pi} x^2 \cos (k \pi x) + \frac{2}{k^2 \pi^2} x \sin (k \pi x) + \frac{2}{k^3 \pi^3} \cos (k \pi x) \end{aligned} \]

\[ c_k = 2 \int_0^1 (x - x^2) \sin (k \pi x) dx = 2(-\frac{2}{k^3 \pi^3}(-1)^k + \frac{2}{k^3 \pi^3}) \]

\[ c_{2n} = 0 \qquad c_{2n-1} = \frac{8}{(2n-1)^3 \pi^3} \]

\[ u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{8}{(2n - 1)^3 \pi^3} e^{-(2n-1)^2 \pi^2 t} \sin((2n - 1) \pi x) \]