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東京大学 情報理工学系研究科 電子情報学専攻 2019年度 専門 第5問

Author

diohabara

Description

信号 \(f(t)\) が与えられたとき, \(f(t)\) を時間間隔 \(t_s\) で標本化することを考える。時間間隔 \(t_s\) にデルタ関数 \(\delta(t)\) が並ぶ信号を単位インパルス列 \(\delta_s(t)\) と呼ぶ。すなわち,

\[ \delta_s(t) = \sum_{i = -\infty}^{\infty}\delta(t - it_s) \]

この時, \(f(t)\) の標本化された信号 \(f_s(t)\) は, \(f_s(t) = f(t)\cdot\delta_s(t)\) と表される。

  以下の問いに答えよ。

(1) \(\delta_s(t)\) を周期 \(t_s\) の周期信号と考え, フーリエ級数展開せよ。

(2) \(\delta_s(t)\) のフーリエ変換 \(\Delta_s(\omega)\) を求めよ。ただし \(\omega_s = \frac{2\pi}{t_s}\) とせよ。

(3) \(f(t)\) 並びに \(f_s(t)\) のフーリエ変換をそれぞれ \(F(\omega)\) と \(F_s(\omega)\) とする。 \(F_s(\omega)\) を \(F(\omega)\) を用いて表せ。

(4) 折り返し歪 (エイリアシング) の定義を述べよ。また, (3) の結果においてどのような現象となるのか説明せよ。さらに, 折り返し歪が起きないために \(F(\omega)\) が満足すべき条件を \(\omega_s\) を用いて述べよ。

必要に応じて以下を使ってよい。

周期 \(T\) の信号 \(x(t)\) のフーリエ級数展開:

\[ \begin{aligned} x(t) &= \sum_{i = -\infty}^{\infty}c_i e^{j\frac{2\pi it}{T}} \\ c_i &= \frac{1}{T}\int_{T_0}^{T_0 + T} x(t)e^{-j\frac{2\pi it}{T}}dt \end{aligned} \]

信号 \(x\) のフーリエ変換 \(X(\omega)\) :

\[ X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt \]

信号 \(x(t) = 1\) のフーリエ変換は \(2\pi\delta(\omega)\) .　

\(x_1(t)\) と \(x_2(t)\) の畳み込み:

\[ x_1(t)*x_2(t) = \int_{-\infty}^{\infty}x_1(t')x_2(t - t')dt' \]

信号 \(x_1(t)\) と \(x_2(t)\) ののフーリエ変換をそれぞれ \(X_1(\omega)\) と \(X_2(\omega)\) とすると, \(x_1(t)*x_2(t)\) のフーリエ変換は , \(X_1(\omega) \cdot X_2(\omega)\).

同様に \(x_1(t) \cdot x_2(t)\) のフーリエ変換は \(\frac{1}{2\pi}X_1(\omega) * X_2(\omega)\).

Kai

(1)

\(\delta_{s}(t) = \sum_{i = -\infty}^{\infty}\delta(t - it_s)\) を \(1\) 周期分 \((-\frac{t_s}{2} \le t < \frac{t_s}{2})\) 切り出して、係数を求める。問題文にもあるように係数を求める式は次の通り。

\[ c_i = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-j\frac{2\pi it}{T}dt} \]

この場合、\(T = t_s ,f(t) = \delta(t)\) なので、これを代入して

\[ \begin{aligned} c_i &= \frac{1}{t_s}\int_{-t_s/2}^{t_s/2}f(t)e^{-j\frac{2\pi it}{t_s}dt} \\ &= \frac{1}{t_s} \cdot 1 = \frac{1}{t_s} \end{aligned} \]

よって、係数は等しく \(\frac{1}{t_s}\) であり、フーリエ級数展開の結果は

\[ \delta_s(t) = \sum_{i = -\infty}^{\infty}\frac{1}{t_s}e^{j\frac{2\pi it}{t_s}} \]

(2)

(1) の結果をフーリエ変換の公式に代入する。ただし、積分と和の交換、フーリエ変換の公式 \((1 \rightarrow 2\pi \delta(\omega),f(t) \rightarrow e^{j\omega_0 t} \rightarrow F(\omega - \omega_0))\)

\[ \begin{aligned} \Delta_s(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}\delta_s(t)e^{-j\omega t}dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty}\bigg\{\sum_{i = -\infty}^{\infty}\frac{1}{t_s}e^{j\frac{2\pi it}{t_s}}\bigg\} \\ &= \frac{1}{t_s}\sum_{\infty}^{\infty}\bigg\{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-j(\omega - i\omega_s)t}\bigg\} \\ &= \frac{1}{t_s}\sum_{i = -\infty}^{\infty}2\pi\delta(\omega - i\omega_s) \\ &= \omega_s \sum_{i = -\infty}^{\infty}\delta(\omega - i\omega_s) \end{aligned} \]

(3)

\(f_s(t) = f(t) \cdot \delta_s(t)\) の両辺をフーリエ変換する。

下の計算では和と積分の入れ替えや、(2) で得た結論や、畳込みの定義式やフーリエ変換 を使った。

\[ \begin{aligned} F_s(\omega) &= \frac{1}{2\pi}F(\omega) * \Delta_s(\omega) \\ &= \frac{1}{t_s}F(\omega) * \bigg(\sum_{i = -\infty}^{\infty}\delta(\omega - i\omega_s)\bigg) \\ &= \frac{1}{t_s}\sum_{i = -\infty}^{\infty}\bigg(\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega')\delta(\omega - i\omega_s - \omega')d\omega'\bigg) \\ &= \frac{1}{t_s}\sum_{i = -\infty}^{\infty}F(\omega - i\omega_s) \end{aligned} \]

(4)

  • エイリアシングの定義

エイリアシングとは、サンプリングに従って信号の一部が本来の周波数とは異なる周波 数の成分として混入してしまい、波形に歪みが生じることを言う。

  • (3) においてどのような減少となるの

サンプリング周波数 \(\omega_s\) に対して周波数 \(\omega,\omega \pm \omega_s ,\omega \pm 2\omega ,\dotsb\) の成分がすべて \(F_s(\omega)\) 上の同じ点に重なってしまうため、サンプリング後の信号 \(F_s(\omega)\) を見たときに \(F(\omega)\) のど この周波数由来なのか判別不可能になる。

  • \(F(\omega)\) が満足すべき条件 \(\omega > \frac{\omega_s}{2}\) において \(F(\omega) = 0\) を満たすこと。