東北大学 理学研究科 物理学専攻 2019年度 問題2（力学）
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Kai
1)
\[
\begin{aligned}
X &= x + l \sin \theta
\\
Y &= - l \cos \theta
\\
\dot{X} &= \dot{x} + l \dot{\theta} \cos \theta
\\
\dot{Y} &= l \dot{\theta} \sin \theta
\end{aligned}
\]
2)
ラグランジアンは、(運動エネルギー) - (位置エネルギー) であるから、
\[
\begin{aligned}
L &=
\frac{1}{2} 2m \dot{x}^2 +
\frac{1}{2} m \left( \dot{X}^2 + \dot{Y}^2 \right)
- \frac{1}{2} k x^2 - mgY
\\
&=
\frac{1}{2} m
\left( 3 \dot{x}^2 + 2 l \dot{x} \dot{\theta} \cos \theta
+ l^2 \dot{\theta}^2 \right)
- \frac{1}{2} k x^2 + mgl \cos \theta
\end{aligned}
\]
である。
3)
問2) で求めた \(L\) は \(x, \dot{x}, \theta, \dot{\theta}\) の2次までで、
\[
\begin{aligned}
L &=
\frac{1}{2} m
\left( 3 \dot{x}^2 + 2 l \dot{x} \dot{\theta}
+ l^2 \dot{\theta}^2 \right)
- \frac{1}{2} k x^2 + mgl \left( 1 - \frac{1}{2} \theta^2 \right)
\end{aligned}
\]
である。
4)
問3) で求めた \(L\) について、次のように計算する：
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}
&= \frac{d}{dt} \left( 3m \dot{x} + ml \dot{\theta} \right)
= 3m \ddot{x} + ml \ddot{\theta}
= 3m \ddot{x} + m \ddot{s}
,\\
\frac{\partial L}{\partial x}
&= -kx
= -2m \Omega^2 x
,\\
\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}
&= \frac{d}{dt} \left( ml \dot{x} + ml^2 \dot{\theta} \right)
= ml \ddot{x} + ml^2 \ddot{\theta}
= ml \ddot{x} + ml \ddot{s}
,\\
\frac{\partial L}{\partial \theta}
&= -mgl \theta
= -mgs
.
\end{aligned}
\]
よって、運動方程式は次のようになる：
\[
\begin{aligned}
&
\begin{cases}
3m \ddot{x} + m \ddot{s} = -2m \Omega^2 x
\\
ml \ddot{x} + ml \ddot{s} = -mgs
\end{cases}
\\
\therefore \ \ \ \
&
\begin{cases}
3 \ddot{x} + \ddot{s} = - 2 \Omega^2 x
\\
\ddot{x} + \ddot{s} = - \Omega^2 s
\end{cases}
\end{aligned}
\]
5)
問4) で求めた運動方程式に \(x=A \sin \omega t, s=B \sin \omega t\) を代入すると、
\[
\begin{align}
&
\begin{cases}
-3 \omega^2 A \sin \omega t - \omega^2 B \sin \omega t
= -2 \Omega^2 A \sin \omega t
\\
- \omega^2 A \sin \omega t - \omega^2 B \sin \omega t
= - \Omega^2 B \sin \omega t
\end{cases}
\nonumber
\\
\therefore \ \ \ \
&
\begin{cases}
\left( 3 \omega^2 - 2 \Omega^2 \right) A + \omega^2 B = 0
\\
\omega^2 A + \left( \omega^2 - \Omega^2 \right) B = 0
\end{cases}
\tag{1} \label{1}
\end{align}
\]
となるから、自明でない解をもつための条件は、
\[
\begin{aligned}
0
=
\begin{vmatrix}
3 \omega^2 - 2 \Omega^2 & \omega^2
\\
\omega^2 & \omega^2 - \Omega^2
\end{vmatrix}
= (\omega + \sqrt{2} \Omega) (\omega - \sqrt{2} \Omega)
(\sqrt{2} \omega + \Omega) (\sqrt{2} \omega - \Omega)
\end{aligned}
\]
である。
\(\omega_1 \gt \omega_2 \gt 0\) であるから、
\[
\begin{aligned}
\omega_1 = \sqrt{2} \Omega
, \ \
\omega_2 = \frac{\Omega}{\sqrt{2}}
\end{aligned}
\]
を得る。
6)
(i) \(\omega = \omega_1\) を式(\(\ref{1}\))に代入して、次を得る：
\[
\begin{aligned}
\frac{A}{B} = - \frac{1}{2}
.
\end{aligned}
\]
(ii) \(\omega = \omega_2\) を式(\(\ref{1}\))に代入して、次を得る：
\[
\begin{aligned}
\frac{A}{B} = 1
.
\end{aligned}
\]