東北大学 理学研究科 物理学専攻 2019年度 問題1（基礎数学）
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Kai
[1]
1)
余緯角（方位角）を \(\theta\) 、緯度角（偏角）を \(\varphi\) とすると、
\(dx dy dz = r^2 \sin \theta dr d \theta d \varphi\) であるから、
\[
\begin{aligned}
\iiint_{r \leq a} \frac{1}{r^2} dx dy dz
&= \int_0^a dr \int_0^\pi d \theta \int_0^{2 \pi} d \varphi
\frac{r^2 \sin \theta}{r^2}
\\
&= 2 \pi a \left[ - \cos \theta \right]_0^\pi
\\
&= 4 \pi a
\end{aligned}
\]
である。
2)
与えられた行列の固有値を \(\lambda\) とすると、
\[
\begin{aligned}
0
&= \begin{vmatrix}
\lambda + 1 & 1 & -1 \\
1 & \lambda + 1 & 1 \\
-1 & 1 & \lambda + 1
\end{vmatrix}
= (\lambda - 1)(\lambda + 2)^2
\\
\therefore \lambda &= 1, -2
\end{aligned}
\]
である。
(i) 固有値 \(1\) に対応する固有ベクトルを求めるため、次のようにおく：
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
-1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
.
\end{aligned}
\]
これを整理すると、 \(x+y=0, x=z\) であるから、例えば、
\[
\begin{aligned}
v_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
が規格化された固有ベクトルである。
(ii) 固有値 \(-2\) に対応する固有ベクトルを求めるため、次のようにおく：
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
-1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
= -2
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
.
\end{aligned}
\]
これを整理すると、 \(y=x+z\) であるから、例えば、
\[
\begin{aligned}
v_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
,
v_3 = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
が規格化された互いに直交する固有ベクトルである。
[2]
1)
\(\Delta y = 0\) のとき、 \(\Delta h = \Delta x\) であり、次のようになる：
\[
\begin{aligned}
\lim_{\Delta h \to 0} \frac{f(z + \Delta h) - f(z)}{\Delta h}
&=
\lim_{\Delta x \to 0}
\frac{ \left\{ u(x + \Delta x, y) + i v(x + \Delta x, y) \right\}
- \left\{ u(x,y) + i v(x,y) \right\} }
{\Delta x}
\\
&= \frac{\partial u(x,y)}{\partial x} + i \frac{\partial v(x,y)}{\partial x}
.
\end{aligned}
\]
\(\Delta x = 0\) のとき、 \(\Delta h = i \Delta y\) であり、次のようになる：
\[
\begin{aligned}
\lim_{\Delta h \to 0} \frac{f(z + \Delta h) - f(z)}{\Delta h}
&=
\lim_{\Delta y \to 0}
\frac{ \left\{ u(x, y + \Delta y) + i v(x, y + \Delta y) \right\}
- \left\{ u(x,y) + i v(x,y) \right\} }
{i \Delta y}
\\
&= -i \frac{\partial u(x,y)}{\partial y} + \frac{\partial v(x,y)}{\partial y}
.
\end{aligned}
\]
これらの実部どうし・虚部どうしが等しいので、次を得る：
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial u(x,y)}{\partial x} = \frac{\partial v(x,y)}{\partial y}
, \ \
\frac{\partial v(x,y)}{\partial x} = - \frac{\partial u(x,y)}{\partial y}
.
\end{aligned}
\]
2)
\(C\) の内部で \(e^{iz}/z\) は特異点を持たないので、 \(I=0\) である。
また、\(I\) は次のように4つの積分に分けて計算できる：
\[
\begin{aligned}
I_1
&= \int_\varepsilon^R \frac{e^{ix}}{x} dx
\\
&= \int_\varepsilon^R \frac{\cos x}{x} dx
+ i \int_\varepsilon^R \frac{\sin x}{x} dx
,\\
I_2
&= \int_{-\varepsilon}^{-R} \frac{e^{ix}}{x} dx
\\
&= - \int_\varepsilon^R \frac{\cos x}{x} dx
+ i \int_\varepsilon^R \frac{\sin x}{x} dx
,\\
I_3
&= \int_\pi^0
\frac{e^{i \varepsilon \exp(i \theta)}}{\varepsilon e^{i \theta}}
i \varepsilon e^{i \theta} d \theta
\\
&= -i \int_0^\pi e^{i \varepsilon \exp (i \theta)} d \theta
\\
&\xrightarrow{\varepsilon \to 0}
-i \int_0^\pi d \theta
= -i \pi
,\\
I_4
&= \int_0^\pi
\frac{e^{iR \exp (i \theta)}}{R e^{i \theta}} i R e^{i \theta} d \theta
\\
&= i \int_0^\pi e^{iR \exp (i \theta)} d \theta
\\
&= i \int_0^\pi e^{R ( i \cos \theta - \sin \theta)} d \theta
,\\
\left| I_4 \right|
&\leq \int_0^\pi \left| e^{R ( i \cos \theta - \sin \theta)} \right| d \theta
\\
&= \int_0^\pi e^{-R \sin \theta} d \theta
\\
&\lt \frac{\pi}{R}
\xrightarrow{R \to \infty} 0
.
\end{aligned}
\]
以上より、\(I=I_1+I_2+I_3+I_4=0\) は \(\varepsilon \to 0, R \to \infty\) において、
\[
\begin{aligned}
2i \int_0^\infty \frac{\sin x}{x} dx - i \pi = 0
\end{aligned}
\]
となり、
\[
\begin{aligned}
\int_0^\infty \frac{\sin x}{x} dx = \frac{\pi}{2}
\end{aligned}
\]
を得る。