東北大学 理学研究科 化学専攻 2023年度 2B
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Kai
問 1
\[
\begin{aligned}
1
&= \int_{- \infty}^\infty \left| \varphi_0(x) \right|^2 dx
\\
&= \left| A \right|^2 \int_{- \infty}^\infty \exp \left( - 2 \alpha x^2 \right) dx
\\
&= \left| A \right|^2 \left( \frac{\pi}{2 \alpha} \right)^\frac{1}{2}
\end{aligned}
\]
なので、
\[
\begin{aligned}
A = \left( \frac{2 \alpha}{\pi} \right)^\frac{1}{4}
\end{aligned}
\]
とすればよい。
問 2
\[
\begin{aligned}
- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \varphi_0(x)}{dx^2} + v(x) \varphi_0(x) = E_0 \varphi_0(x)
\end{aligned}
\]
問 3
問 2 のシュレディンガー方程式に \(\varphi_0(x) = A \exp (-\alpha x^2)\) を代入して整理すると、 次のようになる：
\[
\begin{aligned}
\frac{\hbar^2 \alpha}{m} \left( 1 - 2 \alpha x^2 \right) + v(x) = E_0
\end{aligned}
\]
よって、 \(v(0)=0\) を考慮すると、
\[
\begin{aligned}
\begin{cases}
E_0 = \frac{\hbar^2 \alpha}{m}
\\
v(x) = - \frac{2 \hbar^2 \alpha^2}{m} x^2
\end{cases}
\end{aligned}
\]
が得られ、 \(v(x)\) が \(x\) について2次関数であることがわかる。
問 4
問 3 より、
\[
\begin{aligned}
k &= \frac{4 \hbar^2 \alpha^2}{m}
\\
\therefore \ \
\alpha &= \frac{\sqrt{mk}}{2 \hbar}
\end{aligned}
\]
がわかる。
問 5
問 3, 4 より、
\[
\begin{aligned}
E_0
&= \frac{\hbar^2}{m} \cdot \frac{\sqrt{mk}}{2 \hbar}
\\
&= \frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{k}{m}}
\end{aligned}
\]
がわかる。
問 6
\(\varphi_1(x)\) に対するシュレディンガー方程式
\[
\begin{aligned}
- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \varphi_1(x)}{dx^2} + v(x) \varphi_1(x) = E_1 \varphi_1(x)
\end{aligned}
\]
に \(\varphi_1(x) = Bx \exp( - \alpha x^2)\) を代入して整理すると、
\[
\begin{aligned}
E_1 &= \frac{3\hbar}{2} \sqrt{\frac{k}{m}}
\end{aligned}
\]
を得る。