東北大学 情報科学研究科 社会科学群 2022年8月実施 問題 E-3

Author

Miyake

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日本語版

(1) 関数 \(f(x)\) は閉区間 \(x \in [3,10]\) において連続で、単調減少である。さらに、\(f(3)=10\), \(f(10)=5\), \(\int_3^{10} f(x)dx = 42.5\) とする。積分 \(\int_5^{10} f^{-1} (x) dx\) を計算しなさい。

(2) \(J = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) とし、\((J' + 2J^2)^{3n}\) を求めなさい。ただし、\(J'\) は \(J\) の転置行列であり、\(n\) は自然数である。

English Version

(1) Suppose \(f(x)\) is continuous and decreasing on the closed interval \(x \in [3,10]\). Furthermore, \(f(3)=10\), \(f(10)=5\), and \(\int_3^{10} f(x)dx = 42.5\) hold. Calculate \(\int_5^{10} f^{-1} (x) dx\).

(2) Let \(J = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\). Calculate \((J' + 2J^2)^{3n}\), where \(J'\) is the transpose of \(J\), and \(n\) is a natural number.

Kai

(1)

\(t = f^{-1}(x)\) とおくと、 \(x=f(t), \ dx=f'(t)dt\) であり、次のように計算できる：

\[ \begin{aligned} \int_5^{10} f^{-1}(x) dx &= \int_{10}^3 t f'(t) dt \\ &= \left[ t f(t) \right]_{10}^3 - \int_{10}^3 f(t) dt \\ &= 3 \cdot 10 - 10 \cdot 5 + 42.5 \\ &= 22.5 \end{aligned} \]

(2)

\[ \begin{aligned} J' + 2J^2 &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \\ \left( J' + 2J^2 \right)^2 &= \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \left( J' + 2J^2 \right)^3 &= 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

なので、自然数 \(n\) について次が成り立つことがわかる：

\[ \begin{aligned} \left( J' + 2J^2 \right)^{3n} &= 2^n \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned} \]