東北大学 情報科学研究科 数学教室 2021年8月実施 [7]
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区間 \([−1,1]\) 上の一様分布に従う独立な確率変数 \(X,Y\) に対して，それらの和 \(Z=X+Y\) を考える．
(1) 確率変数 \(Z\) の平均値 \(E[Z]\) と分散 \(V[Z]\) を求めよ．
(2) 実数 \(u\) に対して，確率 \(P(Z \le u)\) を求めよ．
(3) 確率変数 \(Z\) の確率密度関数を求めて，そのグラフの概形を図示せよ．
Kai
(1)
\[
\begin{aligned}
E[X] = 0,
V[X] = \frac{1}{3},
E[Y] = 0,
V[Y] = \frac{1}{3}
\end{aligned}
\]
であるから、
\[
\begin{aligned}
E[Z] = E[X] + E[Y] = 0
\end{aligned}
\]
であり、また、 \(X,Y\) が独立であることを考慮して、
\[
\begin{aligned}
V[Z] = V[X] + V[Y] = \frac{2}{3}
\end{aligned}
\]
である。
(2)
\(u \leq -2\) のときは、
\[
\begin{aligned}
P(Z \leq u) = 0
\end{aligned}
\]
である。
\(-2 \leq u \leq 0\) のときは、
\[
\begin{aligned}
P(Z \leq u)
= \frac{\frac{1}{2} (2+u)^2}{4}
= \frac{(u+2)^2}{8}
\end{aligned}
\]
である。
\(0 \leq u \leq 2\) のときは、
\[
\begin{aligned}
P(Z \leq u)
= 1 - \frac{\frac{1}{2} (2-u)^2}{4}
= \frac{-u^2+4u+4}{8}
\end{aligned}
\]
である。
\(2 \leq u\) のときは、
\[
\begin{aligned}
P(Z \leq u) = 1
\end{aligned}
\]
である。
(3)
求める確率密度関数を \(f(u)\) とする。
\(u \leq -2\) のときは、
\[
\begin{aligned}
f(u) = 0
\end{aligned}
\]
である。
\(-2 \leq u \leq 0\) のときは、
\[
\begin{aligned}
f(u)
= \frac{d}{du} \frac{(u+2)^2}{8}
= \frac{u+2}{4}
\end{aligned}
\]
である。
\(0 \leq u \leq 2\) のときは、
\[
\begin{aligned}
f(u)
= \frac{d}{du} \frac{-u^2+4u+4}{8}
= \frac{-u+2}{4}
\end{aligned}
\]
である。
\(2 \leq u\) のときは、
\[
\begin{aligned}
f(u) = 0
\end{aligned}
\]
である。