東北大学 情報科学研究科 数学教室 2019年8月実施 [6]
Author
Description
一様分布が与えられた単位円板 \(\Omega = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2 \le 1\}\) からランダムに１点を選び，その座標を \((X,Y)\) とする．
(1) 確率変数 \(X\) の確率密度関数 \(f_X(x)\) を求めよ．
(2) 確率変数 \(X\) の平均値 \(\boldsymbol{E}[X]\) と分散 \(\boldsymbol{V}[X]\) を求めよ．
(3) 2つの確率変数 \(X,Y\) の共分散を求めよ．ただし，共分散は
\[
\boldsymbol{Cov}(X, Y) = \boldsymbol{E}[(X - \boldsymbol{E}[X])(Y - \boldsymbol{E}[Y])]
\]
で定義される．
(4) 2つの確率変数 \(X,Y\) は独立であるか．理由を付して答えよ．
Kai
(1)
単位円板 \(\Omega\) の面積は \(\pi\) であるから、 \(X, Y\) の同時密度関数 \(f(x,y)\) は、
\[
\begin{aligned}
f(x,y) = \frac{1}{\pi}
\ \ \ \
\left( (x,y) \in \Omega \right)
\end{aligned}
\]
である。 よって、
\[
\begin{aligned}
f_X(x)
&= \int_{- \sqrt{1 - x^2}}^{\sqrt{1 - x^2}} f(x,y) dy
\\
&= \frac{1}{\pi} \int_{- \sqrt{1 - x^2}}^{\sqrt{1 - x^2}} dy
\\
&= \frac{2}{\pi} \sqrt{1 - x^2}
\ \ \ \ \ \ \ \
( -1 \leq x \leq 1 )
\end{aligned}
\]
である。
(2)
\(f_X(x)\) は 偶関数であるから、明らかに、
\[
\begin{aligned}
E[X] = 0
\end{aligned}
\]
である。 また、
\[
\begin{aligned}
E[X^2]
&=
\int_{-1}^1 x^2 f_X(x) dx
\\
&=
\frac{2}{\pi} \int_{-1}^1 x^2 \sqrt{1 - x^2} dx
\\
&=
\frac{4}{\pi} \int_0^1 x^2 \sqrt{1 - x^2} dx
\\
&=
\frac{4}{\pi} \int_0^{\pi / 2} \sin^2 \theta \cos^2 \theta d \theta
\ \ \ \ \ \ \ \
( x = \sin \theta )
\\
&=
\frac{1}{\pi} \int_0^{\pi / 2} \sin^2 2 \theta d \theta
\\
&=
\frac{1}{\pi} \int_0^{\pi / 2} \frac{1 - \cos 4 \theta}{2} d \theta
\\
&=
\frac{1}{2 \pi} \left[ \theta - \frac{1}{4} \sin 4 \theta \right]_0^{\pi / 2}
\\
&=
\frac{1}{4}
\end{aligned}
\]
であるから、
\[
\begin{aligned}
V[X]
&= E[X^2] - E[X]^2
\\
&=
\frac{1}{4}
\end{aligned}
\]
である。
(3)
\(E[X] = 0\) と同様に \(E[Y] = 0\) である。 また、 \(E[XY] = 0\) でもある。 よって、
\[
\begin{aligned}
\text{Cov} (X, Y) = 0
\end{aligned}
\]
である。
(4)
\(Y\) の確率密度関数 \(f_Y(y)\) は (1) と同様にして、
\[
\begin{aligned}
f_Y(y) = \frac{2}{\pi} \sqrt{ 1 - y^2 }
\ \ \ \ \ \ \ \
( -1 \leq y \leq 1 )
\end{aligned}
\]
である。 よって、
\[
\begin{aligned}
f(x,y) \neq f_X(x) f_Y(y)
\end{aligned}
\]
であるから、 \(X,Y\) は独立でない。