東北大学 情報科学研究科 数学教室 2017年8月実施 [6]
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\(n\) を自然数とし，\(X_1, X_2, \ldots, X_n\) を \([0,1]\) 上の一様分布に従う独立同分布な確率変数列とする．\(M_n = \max \{X_1, X_2, \ldots, X_n \}\), \(L_n = \min \{X_1, X_2, \ldots, X_n \}\) とおく．
(1) 実数 \(x\) に対して，\(F(x)=P(M_2 \le x)\) を求めよ．
(2) \(M_2\) の確率密度関数を求め，\(M_2\) の平均値を計算せよ.
(3) \(L_n\) の確率密度関数を求めて，その平均値を計算せよ．
Kai
(1)
\[
\begin{aligned}
F(x)
&=
P(M_2 \leq x)
\\
&=
P(X_1 \leq x \text{ and } X_2 \leq x)
\\
&=
P(X_1 \leq x) P(X_2 \leq x)
\\
&=
\begin{cases}
0 & (x \lt 0) \\
x^2 & (0 \leq x \leq 1) \\
1 & (1 \lt x)
\end{cases}
\end{aligned}
\]
(2)
\(M_2\) の確率密度関数 \(f(x)\) は、
\[
\begin{aligned}
f(x)
&=
\frac{d}{dx} F(x)
\\
&=
\begin{cases}
0 & (x \lt 0) \\
2x & (0 \lt x \lt 1) \\
0 & (1 \lt x)
\end{cases}
\end{aligned}
\]
であり、\(M_2\) の平均値は、
\[
\begin{aligned}
E(M_2)
&=
\int_{-\infty}^\infty x f(x) dx
\\
&=
2 \int_0^1 x^2 dx
\\
&=
\frac{2}{3}
\end{aligned}
\]
である。
(3)
\[
\begin{aligned}
P(L_n \leq x)
&=
1 - P(L_n \gt x)
\\
&=
1 - P(X_1 \gt x \text{ and } X_2 \gt x \text{ and } \cdots
\text{ and } X_n \gt x)
\\
&=
1 - P(X_1 \gt x) P(X_2 \gt x) \cdots P(X_n \gt x)
\\
&=
\begin{cases}
0 & (x \lt 0) \\
1 - (1-x)^n & (0 \leq x \leq 1) \\
1 & (1 \lt x)
\end{cases}
\end{aligned}
\]
であるから、 \(L_n\) の確率密度関数 \(g(x)\) は、
\[
\begin{aligned}
g(x)
&=
\frac{d}{dx} P(L_n \leq x)
\\
&=
\begin{cases}
0 & (x \lt 0) \\
n(1-x)^{n-1} & (0 \lt x \lt 1) \\
0 & (1 \lt x)
\end{cases}
\end{aligned}
\]
であり、 \(L_n\) の平均値は、
\[
\begin{aligned}
E(L_n)
&=
\int_{-\infty}^\infty x g(x) dx
\\
&=
n \int_0^1 x (1-x)^{n-1} dx
\\
&=
\frac{1}{n+1}
\end{aligned}
\]
である。