東北大学 環境科学研究科 エネルギー環境群 2022年8月実施 基礎科目 数学2
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Kai
(1)
(1-1)
\(A,B \in \boldsymbol{R}\) について
\[
\begin{aligned}
A \boldsymbol{a}_1 + B \boldsymbol{a}_2 = \boldsymbol{0}
\end{aligned}
\]
が成り立つとすると、
\[
\begin{aligned}
A+5B=0, \ \ A+3B=0, \ \ 3A+B=0
\end{aligned}
\]
となり、 \(A=B=0\) を得るので、 \(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2\) は一次独立である。
(1-2)
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{a}_3
= - \frac{1}{2} \boldsymbol{a}_1 + \frac{1}{2} \boldsymbol{a}_2
\end{aligned}
\]
が成り立つので、 \(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3\) は一次従属である。
(1-3)
(1-1), (1-2) より、 \(\boldsymbol{b}\) が \(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3\) の一次結合で表せるということは、 \(\boldsymbol{b}\) が \(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2\) の一次結合で表せるということである。
\(A,B \in \boldsymbol{R}\) について
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{b} = A \boldsymbol{a}_1 + B \boldsymbol{a}_2
\end{aligned}
\]
が成り立つとすると、
\[
\begin{align}
b_1=A+5B, \ \ b_2=A+3B, \ \ b_3=3A+B
\tag{i} \label{i}
\end{align}
\]
となるが、(\(\ref{i}\)) の1,2番目の式から
\[
\begin{aligned}
A = \frac{-3b_1+5b_2}{2}, \ \ B = \frac{b_1-b_2}{2}
\end{aligned}
\]
となり、これを (\(\ref{i}\)) の3番目の式に代入すると、
\[
\begin{aligned}
-4b_1 + 7b_2 = b_3
\end{aligned}
\]
を得る。 これが求める条件である。