東北大学 工学研究科 電気・情報系 2023年8月実施 基礎科目 問題4 情報基礎2
Author
Miyake
Description
Kai
(1)
(a)
(i) \(f( A_1 \cap A_2 )\) が空集合の場合は、明らかに
\(f( A_1 \cap A_2 ) \subseteq f(A_1) \cap f(A_2)\) である。
(ii) \(f( A_1 \cap A_2 )\) は空集合でないとする。
任意の \(y \in f( A_1 \cap A_2 )\) について、
\(y=f(x)\) であるような \(x \in A_1 \cap A_2\) が存在する。
この \(x,y\) について、
\[
\begin{align}
x &\in A_1 \text{ より } y=f(x) \in f(A_1)
,\\
x &\in A_2 \text{ より } y=f(x) \in f(A_2)
\end{align}
\]
が成り立つから、 \(y \in f(A_1) \cap f(A_2)\) である。
よって、 \(f( A_1 \cap A_2 ) \subseteq f(A_1) \cap f(A_2)\) である。
(i), (ii) より、
\(f( A_1 \cap A_2 ) \subseteq f(A_1) \cap f(A_2)\) である。
(b)
\[
\begin{align}
f &: A = \left\{ -1, 1 \right\} \to B = \left\{ 1 \right\}, \ \ x \mapsto x^2
\end{align}
\]
とし、
\[
\begin{align}
A_1 = \left\{ -1 \right\}
,\ \
A_2 = \left\{ 1 \right\}
\end{align}
\]
とすると、
\[
\begin{align}
A_1 \cap A_2 &= \emptyset
\\
\therefore \ \
f(A_1 \cap A_2) &= \emptyset
\end{align}
\]
であり（\(\emptyset\) は空集合）、
\[
\begin{align}
&f(A_1) = \left\{ 1 \right\}
, \ \
f(A_2) = \left\{ 1 \right\}
\\
\therefore \ \
&f(A_1) \cap f(A_2) = \left\{ 1 \right\}
\end{align}
\]
であるので、
\(f( A_1 \cap A_2 ) \neq f(A_1) \cap f(A_2)\) である。
(2)
(a)
\[
\begin{align}
(g \circ f) (a) = (g \circ f) (b)
\end{align}
\]
とすると、
\[
\begin{align}
g (f(a)) = g (f(b))
\end{align}
\]
であり、 \(g\) が1対1の写像であることから
\[
\begin{align}
f(a) = f(b)
\end{align}
\]
がわかり、さらに \(f\) が1対1の写像であることから
\[
\begin{align}
a = b
\end{align}
\]
がわかる。
したがって \(f \circ g\) は1対1の写像である。
(b)
\(g\) が上への写像であることから、任意の \(c \in C\) に対して
\[
\begin{align}
g(b) = c
\end{align}
\]
であるような \(b \in B\) が存在する。
さらに、 \(f\) が上への写像であることから、この \(b \in B\) に対して
\[
\begin{align}
f(a) = b
\end{align}
\]
であるような \(a \in A\) が存在する。
したがって、任意の \(c \in C\) に対して
\[
\begin{align}
(g \circ f) (a) = c
\end{align}
\]
であるような \(a \in A\) が存在するので、
\(g \circ f\) は上への写像である。