東北大学 工学研究科 電気・情報系 2021年8月実施 基礎科目 問題6 数学基礎

Author

Miyake

Description

Kai

(1)

(2)

(a)

\[ \begin{aligned} a_0 &= \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} x dx \\ &= \frac{1}{\pi} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{2 \pi} \\ &= 2 \pi \end{aligned} \]

(b)

\[ \begin{aligned} a_n &= \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} x \cos nx dx \\ &= \frac{1}{n \pi} \left[ x \sin nx \right]_0^{2 \pi} - \frac{1}{n \pi} \int_0^{2 \pi} \sin nx dx \\ &= 0 \\ b_n &= \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} x \sin nx dx \\ &= - \frac{1}{n \pi} \left[ x \cos nx \right]_0^{2 \pi} + \frac{1}{n \pi} \int_0^{2 \pi} \cos nx dx \\ &= - \frac{2}{n} \end{aligned} \]

©

(a), (b) より、 \(0 \lt x \lt 2 \pi\) のとき、

\[ \begin{aligned} x &= \pi + \sum_{n=1}^\infty \left( - \frac{2}{n} \right) \sin nx \\ &= \pi - 2 \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin nx}{n} \end{aligned} \]

したがって、

\[ \begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin nx}{n} = \frac{\pi - x}{2} \end{aligned} \]

が成り立つことがわかる。