東北大学 工学研究科 化学・バイオ系 2023年度 基礎科目 無機・物理化学
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Kai
【問 1】
【問 2】
(1)
\[
\begin{aligned}
C_{V, \mathrm{m}}
&= \frac{d}{dT} U_\mathrm{m} (T)
\\
&= \frac{3}{2} R
\end{aligned}
\]
(2)
\[
\begin{aligned}
\Delta S
&= \int_{T_\mathrm{i}}^{T_\mathrm{f}} \frac{n C_{V, \mathrm{m}}}{T} dT
\\
&= \frac{3}{2} nR \ln \frac{T_\mathrm{f}}{T_\mathrm{i}}
\end{aligned}
\]
(3)
\[
\begin{aligned}
\Delta S
&= \int_{V_\mathrm{i}}^{V_\mathrm{f}} \frac{p}{T} dV
\\
&= nR \int_{V_\mathrm{i}}^{V_\mathrm{f}} \frac{dV}{V}
\\
&= nR \ln \frac{V_\mathrm{i}}{V_\mathrm{f}}
\end{aligned}
\]
(4)
気体 A の物質量を \(n\) モルとすると、
\[
\begin{aligned}
nR
&= \frac{1.00 \cdot 10^5 \cdot 1.00 \cdot 10^{-3}}{300}
\\
&= \frac{1}{3} \ \mathrm{( J \cdot K^{-1} )}
\end{aligned}
\]
である。
エントロピーは状態量であるから、次のように考えることができる。 \(300 \ \mathrm{K}, 1.00 \ \mathrm{bar}, 1.00 \ \mathrm{dm^3}\) から定容で準静的に \(600 \ \mathrm{K}\) に加熱したときのエントロピー変化は、 1) より
\[
\begin{aligned}
\Delta S_1 &= \frac{1}{2} \ln 2
\end{aligned}
\]
であり、 \(600 \ \mathrm{K}, 1.00 \ \mathrm{dm^3}\) から 等温で準静的に \(2.00 \ \mathrm{dm^3}\) に膨張したときのエントロピー変化は、 1) より
\[
\begin{aligned}
\Delta S_2 &= \frac{1}{3} \ln 2
\end{aligned}
\]
であるから、求めるエントロピー変化は
\[
\begin{aligned}
\Delta S_1 + \Delta S_2 &= \frac{5}{6} \ln 2
\end{aligned}
\]
である。