東北大学 工学研究科 応用物理学専攻 2019年実施 [問題2] 力学
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Kai
(1)
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
&= a \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix}
+ s \begin{pmatrix} \sin \theta \\ - \cos \theta \end{pmatrix}
\\
&= \begin{pmatrix} a \cos \theta + s \sin \theta \\
a \sin \theta - s \cos \theta \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
(2)
P の速度を \(\vec{v}\) とすると、
\[
\begin{aligned}
\vec{v}
&= \begin{pmatrix}
-a \dot{\theta} \sin \theta + s \dot{\theta} \cos \theta + \dot{s} \sin \theta \\
a \dot{\theta} \cos \theta + s \dot{\theta} \sin \theta - \dot{s} \cos \theta
\end{pmatrix}
\\
\therefore \ \
\left| \vec{v} \right|^2
&= a^2 \dot{\theta}^2 + s^2 \dot{\theta}^2 + \dot{s}^2
- 2a \dot{s} \dot{\theta}
\end{aligned}
\]
なので、ラグランジアン \(L\) は、
\[
\begin{aligned}
L
&= \frac{1}{2} I \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} m \left| \vec{v} \right|^2
- \frac{1}{2} k (a-s)^2
\\
&= \frac{1}{2} \left[ I + m (a^2+s^2) \right] \dot{\theta}^2
+ \frac{1}{2} m \dot{s}^2 - ma \dot{s} \dot{\theta}
- \frac{1}{2} k (a-s)^2
\end{aligned}
\]
(3)
\(\theta\) に関するオイラー-ラグランジュの方程式より、
\[
\begin{aligned}
\frac{dM}{dt}
= \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}
= \frac{\partial L}{\partial \theta}
= 0
\end{aligned}
\]
なので、 \(M\) は保存する。
(4)
2つの保存量
\[
\begin{aligned}
M
&= \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}
\\
&= \left[ I + m(a^2 + s^2) \right] \dot{\theta} - ma \dot{s}
\\
E
&= \frac{1}{2} \left[ I + m (a^2+s^2) \right] \dot{\theta}^2
+ \frac{1}{2} m \dot{s}^2 - ma \dot{s} \dot{\theta}
+ \frac{1}{2} k (a-s)^2
\end{aligned}
\]
がある。 それぞれについて、 \(t=0\) (このとき \(s=0, \ \dot{s}=0, \ \dot{\theta}=0\) )のときと \(s=a\) のときを比較して、
\[
\begin{aligned}
0
&= \left( I + 2ma^2 \right) \dot{\theta} - ma \dot{s}
\\
\frac{1}{2} ka^2
&= \frac{1}{2} \left( I + 2ma^2 \right) \dot{\theta}^2
+ \frac{1}{2} m \dot{s}^2 - ma \dot{s} \dot{\theta}
\end{aligned}
\]
を得る。 \(\dot{s}\) を消去して \(\dot{\theta}\) を求めると、題意の式を得る。