東北大学 医工学研究科 医学系コース 2023年実施 数学基礎 問題4-6
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Kai
問題4
(1)
\[
\begin{aligned}
\frac{dy}{y^2} &= \frac{dx}{x}
\\
\therefore \ \
- \frac{1}{y} &= \log_e \left| x \right| + C
\ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } )
\\
\therefore \ \
y &= - \frac{1}{\log_e \left| x \right| + C}
\end{aligned}
\]
(2)
\[
\begin{aligned}
\frac{dy}{y} &= 5x dx
\\
\therefore \ \
\log_e \left| y \right| &= \frac{5}{2} x^2 + C'
\ \ \ \ \ \ \ \ ( C' \text{ は積分定数 } )
\\
\therefore \ \
y &= C e^{\frac{5}{2} x^2}
\ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } )
\end{aligned}
\]
問題5
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
\cos \left( \frac{2}{3} \pi \right) &
- \sin \left( \frac{2}{3} \pi \right) \\
\sin \left( \frac{2}{3} \pi \right) &
\cos \left( \frac{2}{3} \pi \right)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 3 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
- \frac{1}{2} &
- \frac{\sqrt{3}}{2} \\
\frac{\sqrt{3}}{2} &
- \frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 3 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} -3 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
なので、求める点の座標は \((-3, \sqrt{3})\) である。
問題6
(1)
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 \\ -2 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 8 \\ -8 \\ -3 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
(2)
拡大係数行列
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -5 & 8 \\
-2 & 1 & 5 & -8 \\
0 & -1 & 2 & -3
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
を次のように行基本変形できる：
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -5 & 8 \\
0 & 1 & -2 & 3 \\
0 & 3 & -5 & 8
\end{pmatrix}
\\
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -3 & 5 \\
0 & 1 & -2 & 3 \\
0 & 0 & 1 & -1
\end{pmatrix}
\\
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & -1
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
よって、求める解は \(x=2,y=1,z=-1\) である。