大阪大学 基礎工学研究科 知能システム学 2023年度 I-1
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Kai
(1)
\(z=x^x\) とおくと、
\[
\begin{aligned}
\log z &= x \log x
\\
\frac{1}{z} \frac{dz}{dx} &= \log x + 1
\\
\therefore \ \
\frac{dz}{dx}
&= z \left( \log x + 1 \right)
\\
&= x^x \left( \log x + 1 \right)
\end{aligned}
\]
であり、 \(y=x^z\) であるから、
\[
\begin{aligned}
\log y &= z \log x
\\
\frac{1}{y} \frac{dy}{dx}
&= \frac{dz}{dx} \log x + \frac{z}{x}
\\
&= z \left( \log x + 1 \right) \log x + \frac{z}{x}
\\
&= x^{x-1} \left( x \left( \log x + 1 \right) \log x + 1 \right)
\\
\therefore \ \
\frac{dy}{dx}
&= y x^{x-1} \left( x \left( \log x + 1 \right) \log x + 1 \right)
\\
&= x^{x^x+x-1} \left( x \left( \log x + 1 \right) \log x + 1 \right)
\end{aligned}
\]
がわかる。